反常积分

Preamble

在一些实际问题中，常常遇到积分区间为无穷区间，或者被积函数为无界函数的积分

因此需要将定积分的概念加以推广，从而引进无穷限积分和无界函数的积分。

二者统称为反常积分(或广义积分)

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无穷限的反常积分

先来考察一个例子

例1

计算由曲线 \(y=\frac1{x^2}\),直线\(x=1\)及\(x\)轴所围成的开口曲边梯形的面积.

解

根据定积分的几何意义，由曲线\(y=\frac1{x^2},x\)轴，直线\(x=1\)及\(x=b(b>1)\)所围

成的曲边梯形的面积为

\[A\left(b\right)=\int_{1}^{b}\frac{dx}{x^{2}}=\left[-\frac{1}{x}\right]_{1}^{b}=1-\frac{1}{b} \]

因此所求开口曲边梯形的面积

\[A=\lim_{b\to+\infty}A\left(b\right)=\lim_{b\to+\infty}\left(1-\frac{1}{b}\right)=1 \]

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Definition

设函数\(f(x)\)在无穷区间\([a, +\infty)\text{上连续, 取}b>a\), 如果极限 $$\lim_{b\to+\infty}\int_a^bf(x)dx$$

存在，则称此极限值为函数\(f(x)\)在无穷区间\([a, +\infty)\)上的反常积分(或广义积分), 记作\(\int_a^{+\infty}f(x)dx\), 即

\[\int_{a}^{+\infty}f(x)\mathrm{d}x=\lim_{b\to+\infty}\int_{a}^{b}f(x)\mathrm{d}x \]

这时也称反常积分\(\int_a^{+\infty}f(x)dx\)收敛.
(抽象意义上理解：如果等式成立，则反常积分\(\int_a^{+\infty}f(x)dx\)收敛)

反之，则称反常积分\(\int_a^{+\infty}f(x)dx\)发散.
(抽象意义上理解：如果等式不成立，则反常积分\(\int_a^{+\infty}f(x)dx\)发散)

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同样，可以定义\(f(x)\)在\((-\infty, b], (-\infty, +\infty)\)上的反常积分.

设\(f(x)\)在区间\((-\infty, b]\)上连续，取\(a<b\), 如果极限

\[\lim_{a\to-\infty}\int_{a}^{b}f(x)\mathrm{d}x \]

存在, 则称此极限值为函数\(f(x)\)在无穷区间\((-\infty, b]\)上的反常积分
记作: \(\int_{-\infty}^{b}f(x)dx\), 即:

\[\int_{-\infty}^{b}f(x)dx=\lim_{a\to-\infty}\int_{a}^{b}f(x)dx \]

这时也称反常积分\(\int _{- \infty }^bf( x)dx\) 收敛.
如果上述极限不存在，就称反常积分\(\int _{- \infty }^bf( x)dx\) 发散.

\[\int_{-\infty}^{b}f(x)\mathrm{d}x=\lim_{a\to\infty}\int_{a}^{b}f(x)\mathrm{d}x. \]

设函数\(f(x)\)在区间\((-\infty,+\infty)\)内连续，如果反常积分

\[\int_{-\infty}^{0}f(x)\mathrm{d}x\quad\text{和}\quad\int_{0}^{+\infty}f(x)\mathrm{d}x \]

都收敛，则称上述两反常积分之和为函数\(f(x)\)在无穷区间(-\(\infty,+\infty)\)内的反常积分，记作
\(\int_{-\infty}^{+\infty}f(x)dx\),即:

\[\int_{-\infty}^{+\infty}f(x)\mathrm{d}x=\int_{-\infty}^{0}f(x)\mathrm{d}x+\int_{0}^{+\infty}f(x)\mathrm{d}x. \]

这时也称反常积分\(\int _{- \infty} ^{+ \infty }f( x)dx\) 收敛.

否则，就称反常积分\(\int _{- \infty} ^{+ \infty }f( x)dx\) 发散.

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设函数 \(f(x)\) 在\((-\infty,+\infty)\) 内连续\(,F(x)\) 是 \(f(x)\) 的原函数，为了方便，分别记

\[\lim_{b\to+\infty}\left[F(x)\right]_{a}^{b}=\lim_{b\to+\infty}F(b)-F(a)=\left[F(x)\right]_{a}^{+\infty},\\\lim_{a\to-\infty}\left[F(x)\right]_{a}^{b}=F(b)-\lim_{a\to-\infty}F(a)=\left[F(x)\right]_{-\infty}^{b}, \]

则无穷限的反常积分

\[\int_{a}^{+\infty}f(x)\mathrm{d}x=\begin{bmatrix}F(x)\end{bmatrix}_{a}^{+\infty},\quad\int_{-\infty}^{b}f(x)\mathrm{d}x=\begin{bmatrix}F(x)\end{bmatrix}_{-\infty}^{b}. \]

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例

讨论反常积分\(\int_a^{+\infty}\frac{\mathrm{d}x}{x^p}(a>0)\) 的敛散性

解

当\(p\neq1\)时，

\[\int_{a}^{+\infty}\frac{\mathrm{d}x}{x^{p}}=\left[\frac{x^{1-p}}{1-p}\right]_{a}^{+\infty}=\begin{cases}\frac{a^{1-p}}{p-1},&p>1,\\+\infty,&p<1;\end{cases} \]

当\(p=1\)时，

\[\int_{a}^{+\infty}\frac{dx}{x}=\left[\ln x\right]_{a}^{+\infty}=+\infty. \]

因此，反常积分\(\int_a^{+\infty}\frac1{x^p}\)d\(x\) 当 \(p>1\) 时收敛于\(\frac a{1-p}{p-1}\),当 \(p\leqslant1\) 时发散.

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无界函数的反常积分

将定积分推广到被积函数为有限区间上的无界函数的情形。

Definition 2

\(f(x)\) 在区间\((a,b]\)上连续，且 $$\lim_{x\to a^+} f( x) = \infty $$

\(\textbf{任取}\varepsilon > 0\), 如果极限

\[\lim_{\varepsilon\to0^+}\int_{a+\varepsilon}^bf(x)\mathrm{d}x \]

存在，则称此极限值为无界函数 \(f(x)\) 在\((a,b]\)上的反常积分(或广义积分),记作\(\int _{b}^{b}f( x)dx\),即

\[\int_{a}^{b}f(x)\:\mathrm{d}x=\lim_{\varepsilon\to0^{+}}\int_{a+\varepsilon}^{b}f(x)\:\mathrm{d}x. \]

这时也称反常积分\(\int_a^b f(x)dx\) 收敛.若上述极限不存在，则称反常积分\(\int_a^bf(x)dx\) 发散.

类似地，设 \(f(x)\) 在\([a,b)\)上连续，

且$$\lim_{x\to b^–}f(x)=\infty$$

如果极限:

\[\int_{a}^{b}f\left(x\right)\mathrm{d}x=\lim_{\epsilon\to0^{+}}\int_{a}^{b-\epsilon}f\left(x\right)\mathrm{d}x \]

存在，则称反常积分\(\int _a^bf( x)dx\) 收敛，并称此极限值为该反常积分的值；
如果上述极限不存在，则称反常积分\(\int_a^bf(x)dx\) 发散.

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设 \(f(x)\) 在区间 \([a, c)\) 及区间 \((c, b]\) 上连续, 且 $$\lim _{x \rightarrow c} f(x)=\infty$$

如果反常积分 \(\int_{a}^{c} f(x) d x\) 和 \(\int_{c}^{b} f(x) \mathrm{d} x\)均收敛, 则称反常积分 \(\int_{a}^{b} f(x) \mathrm{d} x\) 收敛,
并称反常积分 \(\int_{a}^{c} f(x) \mathrm{d} x\) 和 \(\int_{c}^{b} f(x) \mathrm{d} x\) 的值之和为反常积分 \(\int_{a}^{b} f(x) \mathrm{d} x\) 的值;
否则称反常积分 \(\int_{a}^{b} f(x) \mathrm{d} x\) 发散.