定积分之奇偶函数公式
brief
- 若\(f(x)\)在 \([-a,a]\) 上连续且为偶函数，则:
\[\int_{-a}^{a}f(x)dx=2\int_{0}^{a}f(x)dx
\]
- 若\(f(x)\)在 \([-a,a]\) 上连续且为奇函数，则:
\[\int_{-a}^{a}f(x)dx=0
\]
prove
-
Invoke: 定积分的性质
-
Invoke1: 定积分上下限互换规则
Part 0
\[\begin{align}
根据定积分的性质2: \\
\int_{-a}^{a}f(x)dx=\int_{-a}^{0}f(x)dx+\int_{0}^{a}f(x)dx
\\ \\
\begin{cases}
设:t=-x
\\ \\
则:dt=-dx, \enspace -dt=dx\end{cases}
\\ \\ \\ \\
其中第一项:\int_{-a}^{0}f(x)dx\Rightarrow\int_{-a}^{0}f(-t)-dt
\\ \\
[A,B]=[-a,0]
\\ \\
\begin{cases}
当:x=A=-a=-t, \enspace t=a=\alpha
\\ \\
当:x=B=0=t,\enspace t=0=\beta
\end{cases}
\\ \\
\\ \\
\boxed{[\alpha,\beta]=[a,0]}
\\ \\
\text{根据Invoke1}:
\\ \\
{\Rightarrow-\int_{a}^{0}f(-t)dt=\int_{0}^{a}f(-t)dt}
\\ \\
因为此时t已经代表基础自变量,可由x取代之,因此第一项得到: \\
\int_{0}^{a}f(-t)dt=\int_{0}^{a}f(-x)dx
\\ \\ \\ \\
\Rightarrow\int_{-a}^{a}f(x)dx=\int_{0}^{a}f(-x)dx+\int_{0}^{a}f(x)dx
\\ \\
=\int_{0}^{a}[f(-x)+f(x)]dx
\end{align}
\]
Part 1
\[\begin{align}
如果f(x)是偶函数:
\\ \\
f(x)=f(-x) \Rightarrow
f(x)+f(-x)=2f(x)
\\ \\
\Rightarrow \int_{0}^{a}[f(-x)+f(x)]dx= \int_{0}^{a}2f(x)dx=2\int_{0}^{a}f(x)dx
\\ \\
\Rightarrow\int_{-a}^{a}f(x)dx=2\int_{0}^{a}f(x)dx
\\ \\ \\ \\
如果f(x)是奇函数:
\\ \\
f(x)=-f(-x)
\\ \\
\Rightarrow -f(x)=f(-x)
\\ \\
f(x)+[-f(-x)]=f(x)-f(x)=0
\\ \\
\Rightarrow\int_{0}^{a}\left[f\left(x\right)-f\left(x\right)\right]dx=0
\\ \\
\Rightarrow\int_{-a}^{a}f(x)dx=0
\end{align}
\]
