有理函数的分解
有理函数是指两个多项式的商所构成的函数:
\(
R(x)=\frac{P(x)}{Q(x)}=\frac{a_0x^n+a_1x^{n-1}+\cdotp\cdotp\cdotp+a_{n-1}x+a_n}{b_0x^m+b_1x^{m-1}+\cdotp\cdotp\cdotp+b_{m-1}x+b_m},
\quad
(0.0.0)
\)
其中 \(m,n\) 为非负整数
\(a_{0}, a_{1}, a_{2}, ..., a_{n}; \enspace b_{0}, b_{1}, b_{2}, ..., b_{n}\) 均为实数
\(a_{0} \ne 0, b_{0} \ne 0\)
当\(m > n\)时，式子\(0.0.0\)被称为真分式； 当\(m\le n\)时， 式子\(0.0.0\)被称为假分式。
为了求有理函数的不定积分，需要对有理函数进行分解，将有理数分解为多项式和部分简单真分式的代数和。
First
任一假分式，总能化为一个多项式和一个真分式的和
例题 1
1-01
加零裂项
\[\begin{eqnarray}
\frac{x^{3}+1}{x^{2}-2 x+3}
\\ \\
\text { 设 } \enspace {x^{2}-2x+3}=M
\\ \\
\text {对} x^{3} \text {转化为类似}M\text {的形式}
\\ \\
\frac{x^{3}-2 x^{2}+2 x^{2}+3 x-3 x+1}{M}
\\ \\
\frac{x^{3}-2 x^{2}+3 x+2 x^{2}-3 x+1}{M}
\\ \\
\frac{x\left(x^{2}-2 x+3\right)}{M}+\frac{2 x^{2}-3 x+1}{M}
\\ \\
\text {对} 2x^{2} \text {转化为类似}M\text {的形式}
\\ \\
x+\frac{2 x^{2}-4 x+4 x+6-6-3 x+1}{M}
\\ \\
x+\frac{2\left(x^{2}-2 x+3\right)}{M} + \frac{4x-6-3x+1}{M}
\\ \\
x+2+\frac{x}{M}+\frac{5}{M}
\\ \\
x+2+\frac{x}{{x^{2}-2x+3}}+\frac{5}{{x^{2}-2x+3}}
\end{eqnarray}
\]
1-02
将分子化成分母与其他因子的乘积，再分解有理函数
\[\begin{eqnarray}
\frac{x^{3}+x+x^{2}+2}{x^{2}+1}
\\ \\
\frac{x^{3}+x+x^{2}+2}{x^{2}+1}
\\ \\
\frac{x\left(x^{2}+1\right)+x^{2}+1+1}{x^{2}+1}
\\ \\
\frac{x\left(x^{2}+1\right)}{x^{2}+1}+\frac{x^{2}+1}{x^{2}+1}+\frac{1}{x^{2}+1}
\\ \\
x+1+\frac{1}{x^{2}+1}
\end{eqnarray}
\]
Second
任一真分式，总能化为部分简单真分式的和
简单真分式：分母只含有一次因式，或者二次质因式的正整数次幂，
即分母只含有因式\((x-a)^{k}\), 或 \((x^{2}+px+q)^{l}\)的真分式
(其中\(k，l\)均为正整数； \(a,p,q\) 均为实数； \(p^{2}-4q<0\))
现在设\(\frac{P(x)}{Q(x)}\)为真分式，分解方法如下：
First
如果 \({Q(x)}\) 含有因式 \((x-a)^{k}\) , 则 \(\frac{P(x)}{Q(x)}\) 的分解式之中，对应地含有以下 \(k\) 个部分简单真分式的和：
\[\frac{A_{1}}{(x-a)^{k}}+\frac{A_{2}}{(x-a)^{k-1}}+...+\frac{A_{k}}{(x-a)}
\]
其中\(A_{i}(i=1,2,...,k)\)为待定常数，可用待定系数法或其他方法来确定
Second
如果 \({Q(x)}\) 含有因式 \((x^{2}+px+q)^{k}\) , 则 \(\frac{P(x)}{Q(x)}\) 的分解式之中，对应地含有以下 \(k\) 个部分简单真分式的和：
\[\frac{M_{1}x+N_{1}}{(x^{2}+px+q)^{k}} +
\frac{M_{2}x+N_{2}}{(x^{2}+px+q)^{k-1}} + ... +
\frac{M_{k}x+N_{k}}{(x^{2}+px+q)}
\]
其中\(M_{i},N_{i}(i=1,2,...,k)\)为待定常数，可用待定系数法或其他方法来确定
例题 2
2-01
\[\begin{eqnarray}
\frac{x+3}{x^{2}-5x+6}
\\ \\
因式分解: \quad x^{2}-5 x+6
\\ \\
根据公式: \enspace (x+a)(x+b)=x^{2}+(a+b) x+a b
\\ \\
a b=6, \quad a+b=-5
\\ \\
\pm 1 \cdot \pm 6=a b=6
\\ \\
\pm 2 \cdot \pm 3=a b=6
\\ \\
因为只有: \enspace -2 \cdot-3=a b=6
\\ \\
同时满足:
\\ \\
-2-3=a+b=-5
\\ \\
\therefore x^{2}+5 x+6=(x-2)(x-3)
\\ \\
\frac{x+3}{x^{2}-5x+6}=\frac{x+3}{(x-2)(x-3)}
\\ \\
\frac{x+3}{(x-2)(x-3)}=\frac{x}{(x-2)(x-3)}+\frac{3}{(x-2)(x-3)}
\\ \\
创建2个变量A和B, \enspace 使得:
\\ \\
\frac{x}{(x-2)(x-3)}+\frac{3}{(x-2)(x-3)}=
\frac{A(x-3)}{(x-2)(x-3)}+\frac{B(x-2)}{(x-2)(x-3)}
\\ \\
\frac{A}{(x-2)}+\frac{B}{(x-3)}
\\ \\
进而可得如下: \\ \\
A(x-3)+B(x-2)=x+3
\\ \\
A x-3 A+B x+2 B=x+3
\\ \\
A x+B x-3 A-2 B=x+3
\\ \\
\left\{\begin{array}{l}
A x+B x=(A+B) x=x
\\ \\
-3 A-2 B=3
\end{array}\right.
\\ \\
\therefore A+B=1, \quad B=1-A
\\ \\
-3 A-2(1-A)=3
\\ \\
-3 A-2+2 A=3
\\ \\
-A-2=3
\\ \\
-A=5, \quad A=-5 ,
\quad B=6
\\ \\
\Rightarrow \frac{-5}{x-2}+\frac{6}{x-3}
\end{eqnarray}
\]
2-02
\[\begin{align}
\frac{1}{(2+5x)(x^{2}+3)}
\\ \\
\frac{A(x^{2}+3)}{(2+5x)(x^{2}+3)}+\frac{(Mx+N)(2+5x)}{(x^{2}+3)(2+5x)}=
\frac{A}{2+5x}+\frac{Mx+N}{x^{2}+3}
\\ \\
A(x^{2}+3)+(Mx+N)(2+5x)=1
\\ \\
x^{2}(A+5M)+x(2M+5N)+ (3A+2N) = 1
\\ \\
\begin{aligned}
\begin{cases}
A+5M=0
\\ \\
2M+5N=0
\\ \\
3A+2N=1
\end{cases}
\end{aligned}
\\ \\
A=-5M, \enspace 2M=-5N
\\ \\
M=-\frac{5}{2}N, \enspace A=\frac{25}{2}N
\\ \\
3\cdot\frac{25}{2}N+2N=1, \enspace N=\frac{2}{79}
\\ \\
A=\frac{25}{79}, \enspace M=-\frac{5}{79}
\\ \\
\Rightarrow\frac{\frac{25}{79}}{2+5x}+\frac{-\frac{5}{79}x+\frac{2}{79}}{x^{2}+3}
\end{align}
\]
有理函数的不定积分
求有理函数的不定积分，首先要将假分式化为多项式和真分式之和(若有理函数业已是真分式，省略此步骤)
其次，将真分式化为简单真分式的代数和
最后,求解多项式和简单真分式的不定积分
进而求得有理函数的不定积分
例题
example.{1, 2}
可化为有理函数的不定积分
有些不定积分，虽然被积函数不是有理函数，但通过适当的变量代换，可化为有理函数，从而运用有理函数的求解方法求得积分。
例题3
援引来源01: Table
\[\begin{align}
\int{\frac{\sqrt{x-1}}{x}}dx=?
\\ \\
设: \enspace \sqrt{x-1}=t, \enspace x=1+t^{2}
\\ \\
\int\frac{t}{1+t^{2}}d(1+t^{2})
\\ \\
dx=d(1+t^{2})=dt\cdot(1+t^{2})^{\prime}
\\ \\
dx=2tdt
\\ \\
\int\frac{t}{1+t^{2}}\cdot2tdt=2\int\frac{t^{2}}{1+t^{2}}dt
\\ \\
2\int\frac{t^{2}+1-1}{1+t^{2}}dt\Rightarrow2\int\left(1-\frac{1}{1+t^{2}}\right)dt
\\ \\
2\int dt-2\int\frac{1}{1+t^{2}}dt
\\ \\
2\int dt=2t+C
\\ \\
根据援引来源01:
\\
2\int\frac{1}{1+t^{2}}dt=2\arctan\left(t\right)+C
\\ \\
2\left[t-\arctan\left(t\right)\right]+C
\\ \\
2\left[(\sqrt{x-1})-\arctan\left(\sqrt{x-1}\right)\right]+C
\end{align}
\]
如果被积函数是 \(\sin x\), \(\cos x\), 以及，常数经过有限次四则运算所构成的函数，
则可变换 \(u=\tan \frac{x}{2}\), 将被积函数化为变量 \(u\) 的有理函数：
Invoke: 三角函数之诱导(简化)公式2
\[\begin{eqnarray}
\sin (x)=\frac{2\tan(\frac{x}{2})}{1+\tan^{2}(\frac{x}{2})}=\frac{2u}{1+u^{2}}
\\ \\
\cos(x)=\frac{ 1-\tan^{2}(\frac{x}{2}) }{ 1+\tan^{2}(\frac{x}{2}) }
=\frac{1-u^{2}}{1+u^{2}}
\end{eqnarray}
\]
且由 \(x = 2\arctan u\), 得 \(dx=\frac{2}{1+u^{2}} du\), 通过求解关于 \(u\) 的有理函数的不定积分，从而求得题目要求的不定积分
例题4
例题4 => example 0
需要说明的是：尽管初等函数在其定义域上是连续的，其原函数一定存在，但其原函数不一定是初等函数，例如：
\[\begin{array}{c}
\int e^{-x^{2}} dx
\\ \\
\int \frac{\sin x}{x} dx
\\ \\
\int \frac{1}{\ln{x}} dx
\\ \\
\int \frac{1}{\sqrt{1+x^{4}}} dx
\end{array}
\]
等都不是初等函数
