定积分的性质
性质1 线性性质
\[\int_{a}^{b}[\alpha f(x)\pm\beta g(x)]dx=\alpha\int_{a}^{b}f(x)dx
\pm\beta\int_{a}^{b}g(x)dx
\]
性质2 可加性
设: \(a<c<b\)
\[\int_{a}^{b}f(x)dx=\int_{a}^{c}f(x)dx+\int_{c}^{b}f(x)dx
\]
性质3
定积分 \(\int_{a}^{b}f(x)dx\) 所代表的的几何意义：
由曲线\(y=f(x)\), 直线\(x=a\), 直线\(x=b\), 和\(x\)轴所围成的曲边梯形之面积.
因此当\(f(x)=1\)时，如上图，它表示: 边长分别为\(1\)和\((b-a)\)的矩形的面积，遂有如下性质:
\[当f(x)=1
\\ \\
\int_{a}^{b}f(x)dx=\int_{a}^{b}dx=b-a
\]
性质4 保序性
前言：
\(y\)和\(-y\)二者可以由\(|y|\)统一表示, 因为：
-
若 \(y \ge 0\), 则 \(|y| = y\)
-
若 \(y \le 0\), 则 \(|y| = -y\)
例如： \(y=-10, \enspace \enspace |y|=10=-(-10)=-y\)
如果在闭区间\([a,b]\)之内, \(f(x)\leq g(x)\) , 则有如下:
\[\begin{align}
\int_{a}^{b}f(x)dx\leq\int_{a}^{b}g(x)dx, \quad (a<b)
\\ \\
\text{因为}:
\\ \\
-|f(x)|\leq f(x)\leq|f(x)|
\\ \\
\text{所以}:
\\ \\
-\int_{a}^{b}|f(x)|dx\leq\int_{a}^{b}f(x)dx\leq\int_{a}^{b}|f(x)|dx
\\ \\
\left|\int_a^bf(x)dx\right|\leq\int_a^b\left|f(x)\right|dx
\end{align}
\]
性质5
设\(M\)是闭区间\([a,b]\)中的最大值，\(m\)是闭区间\([a,b]\)中的最小值
因为: $ m \leq f(x) \leq M $ ,根据性质3和性质4，得到如下新的性质:
\[\int_a^bmdx\leq\int_a^bf(x)dx\leq\int_a^bMdx
\\ \\
m(b-a)\leq\int_{a}^{b}f(x)dx \leq M(b-a)
\]
性质6 定积分中值定理
如果\(f(x)\)在闭区间\([a,b]\)上连续, 则在\([a,b]\)上至少存在一点 \(\xi\) ，使得：
\[f\left(\xi\right)\left(b-a\right)=\int_{a}^{b}f\left(x\right)dx
\]
因为\(f(x)\)在闭区间\([a,b]\)上连续, 所以在\([a,b]\)上存在最大值\(M\)与最小值\(m\)，由性质5：
\[\begin{eqnarray}
m(b-a)\leq\int_{a}^{b}f(x)dx\leq M(b-a)
\\ \\
m\leq\frac{1}{b-a}\int_{a}^{b}f(x)dx\leq M
\\ \\
\end{eqnarray}
\]
根据闭区间上连续函数的介值定理，则在\([a,b]\)上至少存在一点 \(\xi\) ,使得：
\[f(\xi)=\frac{1}{b-a}\int_{a}^{b}f(x)dx
\]
即:
\[f\left(\xi\right)\left(b-a\right)=\int_{a}^{b}f\left(x\right)dx
\]
