Preface
利用分部积分法可以解决的常见积分类型
第一类
幂函数与指数函数或正余弦函数乘积的积分,分部积分后,幂函数被降次,直至没有
可以设 u=xn:
- ∫xneaxdx
- ∫xnsinaxdx
- ∫xncosaxdx
第二类
幂函数与对数函数或反三角函数乘积的积分,分部积分后,
将无法直接积分的对数函数或反三角函数转化为“可以对其进行微分计算”,
简化被积函数,求出原函数
可以设 du=xndx :
- ∫xnlnxdx
- ∫xnarcsinxdx
- ∫xnarctanxdx
第三类
指数函数与正余弦函数乘积的积分,通过被积表达式的自身“复制”求出原函数
可以设 du=eaxdx,
也可以设 u=eax :
- ∫eaxsinbxdx
- ∫eaxcosbxdx
paradigm 0
∫xcosxdx=?∫x(sinx)′dx设:u=x,q=sinx⇒∫x(dx⋅sinx)=∫xd(sinx)=xsinx−∫sinxdx=xsinx−(−cosx)+C=xsinx+cosx+C(1)(2)(3)(4)(5)(6)(7)(8)(9)(10)(11)(12)(13)
paradigm 1
∫xexdx=?∵(ex)′=exlne=ex⇒∫xd(ex)=xex−∫exdx=xex−(ex+C)=ex(x−1)+C(14)(15)(16)(17)(18)(19)(20)(21)(22)
paradigm 2
∫x2lnxdx=?∵[(12+1)x2+1]′=(13x3)′=x2⇒∫(13x3)′lnxdx∫lnxd(13x3)设:lnx=u,13x3=q=lnx⋅13x3−∫13x3d(lnx)d(lnx)=dx⋅(lnx)′=1xdx⇒∫13x3⋅1xdx=13∫x2dx=13(13x3)+C=19x3+C⇒x3lnx3−x39+C(23)(24)(25)(26)(27)(28)(29)(30)(31)(32)(33)(34)(35)(36)(37)(38)(39)(40)(41)
Paradigm 3
∫arctanxdx=?∫(x)′arctanxdx=xarctanx−∫xd(arctanx)∫xd(arctanx)⇒∫x⋅dx⋅11+x2∫x1+x2dx, 设: u=1+x2=12∫1udu=12lnu+C⇒xarctanx−12ln(1+x2)+C(42)(43)(44)(45)(46)(47)(48)(49)(50)(51)(52)
Paradigm 4
易错点: (ln√x)′=(lnu)′⋅u′=12x
不是: 1√x
∫arccosxdx=?⇒∫(x)′arcsinxdx⇒xarccosx−∫xd(cosar(x)∫xd(cosarcx)⇒∫x⋅dx⋅(arccosx)=∫x√1−x2dx设:u=1−x2∫x√ud(1−x2)d(1−x2)=(1−x2)′dx=−2xdx=du∫x√udu−2x=−∫1√u⋅−12⋅du=12∫1√udu12∫1√udu⇒12∫u−12du=12(2u12)+C=√1−x2+C最终:xarccosx−√1−x2+C(53)(54)(55)(56)(57)(58)(59)(60)(61)(62)(63)(64)(65)(66)(67)(68)(69)(70)(71)(72)(73)(74)(75)(76)(77)
Paradigm 5
-
前置: (tanx)′=sec2x
-
前置: (secx)′=secxtanx
-
前置: 1+tan2x=sec2x
-
前置: 援引题:Sample 0
∫sec3xdx=?∫secx⋅sec2xdx=∫secxd(tanx)=secxtanx−∫tanxd(secx)∫tanxd(secx)=∫tanxdx⋅secxtanx=∫tan2xsecxdx=∫(sec2x−1)secxdx=∫(sec3x−secx)dx=∫sec3xdx−∫secxdx∫sec3xdx=secxtanx−∫sec3xdx+∫secxdx2∫sec3xdx=secxtanx+∫secxdx∫sec3xdx=12(secxtanx+ln|secx+tanx|)+C(78)(79)(80)(81)(82)(83)(84)(85)(86)(87)(88)(89)(90)(91)(92)(93)(94)(95)(96)(97)(98)
paradigm 6
∫exsinxdx=?∫ex(−cosx)′dx⇒−cosxex+∫cosxd(ex)∫cosxd(ex)=∫cosxdxex=∫(sinx)′exdx=∫(sinx)′exdx=exsinx−∫sinxd(ex)=exsinx−∫sinxexdx∫exsinxdx=−cosxex+exsinx−∫sinxexdx2∫exsinxdx=exsinx−cosxex∫exsinxdx=12(exsinx−cosxex)+C=12ex(sinx−cosx)+C(99)(100)(101)(102)(103)(104)(105)(106)(107)(108)(109)(110)(111)(112)(113)(114)(115)
Paradigm 7
∫x2exdx=?⇒∫x2dx(ex)′=∫x2d(ex)=x2ex−∫exd(x2)∫exd(x2)=∫ex⋅dx⋅(x2)′⇒∫ex2xdx=2∫xexdx∫xexdx=∫xd(ex)⇒xex−∫exd(x)=xex−ex+C⇒x2ex−2(xex−ex)+Cx2ex−2xex+2ex+Cex(x2−2x+2)+C(116)(117)(118)(119)(120)(121)(122)(123)(124)(125)(126)(127)(128)(129)(130)(131)(132)(133)(134)
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