分部积分法例题编练

Preface

利用分部积分法可以解决的常见积分类型

第一类

幂函数与指数函数或正余弦函数乘积的积分,分部积分后,幂函数被降次,直至没有
可以设 u=xn:

  • xneaxdx
  • xnsinaxdx
  • xncosaxdx

第二类

幂函数与对数函数或反三角函数乘积的积分,分部积分后,
将无法直接积分的对数函数或反三角函数转化为“可以对其进行微分计算”,
简化被积函数,求出原函数
可以设 du=xndx

  • xnlnxdx
  • xnarcsinxdx
  • xnarctanxdx

第三类

指数函数与正余弦函数乘积的积分,通过被积表达式的自身“复制”求出原函数
可以设 du=eaxdx,
也可以设 u=eax

  • eaxsinbxdx
  • eaxcosbxdx

paradigm 0

(1)xcosxdx=?(2)(3)x(sinx)dx(4)(5):u=x,q=sinx(6)(7)x(dxsinx)=xd(sinx)(8)(9)=xsinxsinxdx(10)(11)=xsinx(cosx)+C(12)(13)=xsinx+cosx+C


paradigm 1

(14)xexdx=?(15)(16)(ex)=exlne=ex(17)(18)xd(ex)=xexexdx(19)(20)=xex(ex+C)(21)(22)=ex(x1)+C


paradigm 2

(23)x2lnxdx=?(24)(25)[(12+1)x2+1]=(13x3)=x2(26)(27)(13x3)lnxdx(28)(29)lnxd(13x3)(30)(31):lnx=u,13x3=q(32)(33)=lnx13x313x3d(lnx)(34)(35)d(lnx)=dx(lnx)=1xdx(36)(37)13x31xdx=13x2dx(38)(39)=13(13x3)+C=19x3+C(40)(41)x3lnx3x39+C


Paradigm 3

(42)arctanxdx=?(43)(44)(x)arctanxdx=xarctanxxd(arctanx)(45)(46)xd(arctanx)xdx11+x2(47)(48)x1+x2dx, 设: u=1+x2(49)(50)=121udu=12lnu+C(51)(52)xarctanx12ln(1+x2)+C


Paradigm 4

易错点: (lnx)=(lnu)u=12x

不是: 1x

(53)arccosxdx=?(54)(55)(x)arcsinxdx(56)(57)xarccosxxd(cosar(x)(58)(59)xd(cosarcx)xdx(arccosx)(60)(61)=x1x2dx(62)(63):u=1x2(64)(65)xud(1x2)(66)(67)d(1x2)=(1x2)dx=2xdx=du(68)(69)xudu2x=1u12du=121udu(70)(71)121udu12u12du(72)(73)=12(2u12)+C(74)(75)=1x2+C(76)(77):xarccosx1x2+C


Paradigm 5

  • 前置: (tanx)=sec2x

  • 前置: (secx)=secxtanx

  • 前置: 1+tan2x=sec2x

  • 前置: 援引题:Sample 0

(78)sec3xdx=?(79)(80)secxsec2xdx=secxd(tanx)(81)(82)=secxtanxtanxd(secx)(83)(84)tanxd(secx)=tanxdxsecxtanx(85)(86)=tan2xsecxdx(87)(88)=(sec2x1)secxdx(89)(90)=(sec3xsecx)dx(91)(92)=sec3xdxsecxdx(93)(94)sec3xdx=secxtanxsec3xdx+secxdx(95)(96)2sec3xdx=secxtanx+secxdx(97)(98)sec3xdx=12(secxtanx+ln|secx+tanx|)+C


paradigm 6

(99)exsinxdx=?(100)(101)ex(cosx)dxcosxex+cosxd(ex)(102)(103)cosxd(ex)=cosxdxex=(sinx)exdx(104)(105)=(sinx)exdx=exsinxsinxd(ex)(106)(107)=exsinxsinxexdx(108)(109)exsinxdx=cosxex+exsinxsinxexdx(110)(111)2exsinxdx=exsinxcosxex(112)(113)exsinxdx=12(exsinxcosxex)+C(114)(115)=12ex(sinxcosx)+C


Paradigm 7

(116)x2exdx=?(117)(118)x2dx(ex)=x2d(ex)(119)(120)=x2exexd(x2)(121)(122)exd(x2)=exdx(x2)(123)(124)ex2xdx=2xexdx(125)(126)xexdx=xd(ex)(127)(128)xexexd(x)=xexex+C(129)(130)x2ex2(xexex)+C(131)(132)x2ex2xex+2ex+C(133)(134)ex(x22x+2)+C


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