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换元积分法训练题

在求解不定积分的过程中,第一和第二换元积分法的应用不是彼此孤立的,往往需要同时混合使用

instance 0

x34x2dx=?:x=2sint(2sint)344sin2td(2sint)(2sint)34(1sin2t)2costdt8sin3t4cos2t2costdt8sin3t2cost2costdt32sin3tcos2tdt:u=costdu=d(cost)=(cost)dt=sintdtdusint=dt32sin3tu2dusint32sin2tu2du32(1u2)u2du=32(u2u4)du=32(13u315u5)+C=323cos3t+325cos5t+C


paradigm 0

援引题Sample 0

\begin{align} \int \sqrt{3+2 x-x^{2}} d x=? \\ \\ \int \sqrt{3-x^{2}+2 x-1+1} d x \\ \\ \int \sqrt{3+\left[-\left(x^{2}-2 x+1\right)\right]+1} d x \\ \\ \int \sqrt{4+\left[-(x-1)^{2}\right]} d x \\ \\ \text { 设: } \quad t=x-1 \\ \\ \Rightarrow \int \sqrt{4-t^{2}} d(x-1)=\int \sqrt{2^{2}-t^{2}} d t \\ \\ 根据援引题:\text {Sample 0} \\ \\ \Rightarrow \frac{x-1}{2} \sqrt{2^{2}-(x-1)^{2}}+\frac{2^{2}}{2} \arcsin \frac{x-1}{2}+C \\ \\ =\frac{x-1}{2} \sqrt{3+2 x-x^{2}}+2 \arcsin \frac{x-1}{2}+C \end{align}


paradigm 1

援引题: Sample3

\begin{align} \quad \int \frac{2 x+1}{\sqrt{x^{2}+2 x+5}} d x=? \\ \\ \Rightarrow \int \frac{2 x+1}{\sqrt{\left(x^{2}+2 x+1\right)+4}} d x=\int \frac{2 x+1}{\sqrt{(x+1)^{2}+2^{2}}} d x \\ \\ \text { 设: } u=x+1 \\ \\ \text { 则: } x=u-1 \\ \\ \int \frac{2(u-1)+1}{\sqrt{u^{2}+2^{2}}} d(x+1) \\ \\ \Rightarrow \int \frac{2 u-1}{\sqrt{u^{2}+2^{2}}} d u=\int \frac{2 u}{\sqrt{u^{2}+2^{2}}} d u-\int \frac{1}{\sqrt{u^{2}+2^{2}}} d u \\ \\ \\ 解决第一式: \\ 再设: u^{2}+2^{2}=h \\ \\ \int \frac{2 u}{\sqrt{h}} d\left(u^{2}+2^{2}\right) \Rightarrow \int \frac{2 u}{\sqrt{h}} \cdot \frac{d h}{2 u}=\int \frac{1}{\sqrt{h}} d h \\ \\ \int \frac{1}{\sqrt{h}} d h=\int \frac{1}{h^{\frac{1}{2}}} d h= \int h^{-\frac{1}{2}} d h= \left[1 \div (-\frac{1}{2}+1) \right] h^{-\frac{1}{2}+1}+C \\ \\ =2 h^{\frac{1}{2}}+C \\ \\ \\ \text { 解决第二式, 根据援引题Sample } 3: \\ \\ \int \frac{1}{\sqrt{u^{2}+2^{2}}} d u= \ln \left(\sqrt{u^{2}+2^{2}}+u\right)+C \\ \\ \\ 2 h^{\frac{1}{2}} - \ln \left(\sqrt{u^{2}+2^{2}}+u\right) +C \\ \\ =2(x^{2}+2x+5)^{\frac{1}{2}}-\ln (\sqrt[]{x^{2}+2x+5}+x+1)+C \end{align}


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