在求解不定积分的过程中,第一和第二换元积分法的应用不是彼此孤立的,往往需要同时混合使用
instance 0
∫x3√4−x2dx=?设:x=2sint∫(2sint)3√4−4sin2t⋅d(2sint)∫(2sint)3√4(1−sin2t)2costdt∫8sin3t⋅√4cos2t⋅2costdt∫8sin3t⋅2cost⋅2costdt32∫sin3tcos2tdt设:u=costdu=d(cost)=(cost)′dt=−sintdtdu−sint=dt32∫sin3tu2⋅du−sint−32∫sin2tu2du−32∫(1−u2)u2du=−32∫(u2−u4)du=−32(13u3−15u5)+C=−323cos3t+325cos5t+C∵sint=x2根据勾股定理:cost=√4−x22cos3t=(√4−x22)3=(4−x2)328cos5t=(√4−x22)5=(4−x2)5232−323⋅(4−x2)328+325⋅(4−x2)5232+C=−43(4−x3)32+15(4−x2)52+C(1)(2)(3)(4)(5)(6)(7)(8)(9)(10)(11)(12)(13)(14)(15)(16)(17)(18)(19)(20)(21)(22)(23)(24)(25)(26)(27)(28)(29)(30)(31)(32)(33)(34)(35)(36)(37)(38)(39)(40)(41)
paradigm 0
援引题Sample 0
∫√3+2x−x2dx=?∫√3−x2+2x−1+1dx∫√3+[−(x2−2x+1)]+1dx∫√4+[−(x−1)2]dx 设: t=x−1⇒∫√4−t2d(x−1)=∫√22−t2dt根据援引题:Sample 0⇒x−12√22−(x−1)2+222arcsinx−12+C=x−12√3+2x−x2+2arcsinx−12+C(42)(43)(44)(45)(46)(47)(48)(49)(50)(51)(52)(53)(54)(55)(56)(57)(58)
paradigm 1
援引题: Sample3
∫2x+1√x2+2x+5dx=?⇒∫2x+1√(x2+2x+1)+4dx=∫2x+1√(x+1)2+22dx 设: u=x+1 则: x=u−1∫2(u−1)+1√u2+22d(x+1)⇒∫2u−1√u2+22du=∫2u√u2+22du−∫1√u2+22du解决第一式:再设:u2+22=h∫2u√hd(u2+22)⇒∫2u√h⋅dh2u=∫1√hdh∫1√hdh=∫1h12dh=∫h−12dh=[1÷(−12+1)]h−12+1+C=2h12+C 解决第二式, 根据援引题Sample 3:∫1√u2+22du=ln(√u2+22+u)+C2h12−ln(√u2+22+u)+C=2(x2+2x+5)12−ln(√x2+2x+5+x+1)+C(59)(60)(61)(62)(63)(64)(65)(66)(67)(68)(69)(70)(71)(72)(73)(74)(75)(76)(77)(78)(79)(80)(81)(82)(83)(84)(85)(86)(87)(88)(89)
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