换元积分法训练题
在求解不定积分的过程中,第一和第二换元积分法的应用不是彼此孤立的,往往需要同时混合使用
instance 0
∫x3√4−x2dx=?设:x=2sint∫(2sint)3√4−4sin2t⋅d(2sint)∫(2sint)3√4(1−sin2t)2costdt∫8sin3t⋅√4cos2t⋅2costdt∫8sin3t⋅2cost⋅2costdt32∫sin3tcos2tdt设:u=costdu=d(cost)=(cost)′dt=−sintdtdu−sint=dt32∫sin3tu2⋅du−sint−32∫sin2tu2du−32∫(1−u2)u2du=−32∫(u2−u4)du=−32(13u3−15u5)+C=−323cos3t+325cos5t+C∵
paradigm 0
援引题Sample 0
\begin{align}
\int \sqrt{3+2 x-x^{2}} d x=?
\\ \\
\int \sqrt{3-x^{2}+2 x-1+1} d x
\\ \\
\int \sqrt{3+\left[-\left(x^{2}-2 x+1\right)\right]+1} d x
\\ \\
\int \sqrt{4+\left[-(x-1)^{2}\right]} d x
\\ \\
\text { 设: } \quad t=x-1
\\ \\
\Rightarrow \int \sqrt{4-t^{2}} d(x-1)=\int \sqrt{2^{2}-t^{2}} d t
\\ \\
根据援引题:\text {Sample 0}
\\ \\
\Rightarrow \frac{x-1}{2} \sqrt{2^{2}-(x-1)^{2}}+\frac{2^{2}}{2} \arcsin \frac{x-1}{2}+C
\\ \\
=\frac{x-1}{2} \sqrt{3+2 x-x^{2}}+2 \arcsin \frac{x-1}{2}+C
\end{align}
paradigm 1
援引题: Sample3
\begin{align}
\quad \int \frac{2 x+1}{\sqrt{x^{2}+2 x+5}} d x=?
\\ \\
\Rightarrow \int \frac{2 x+1}{\sqrt{\left(x^{2}+2 x+1\right)+4}} d x=\int \frac{2 x+1}{\sqrt{(x+1)^{2}+2^{2}}} d x
\\ \\
\text { 设: } u=x+1
\\ \\
\text { 则: } x=u-1
\\ \\
\int \frac{2(u-1)+1}{\sqrt{u^{2}+2^{2}}} d(x+1)
\\ \\
\Rightarrow \int \frac{2 u-1}{\sqrt{u^{2}+2^{2}}} d u=\int \frac{2 u}{\sqrt{u^{2}+2^{2}}} d u-\int \frac{1}{\sqrt{u^{2}+2^{2}}} d u
\\ \\ \\
解决第一式:
\\
再设: u^{2}+2^{2}=h
\\ \\
\int \frac{2 u}{\sqrt{h}} d\left(u^{2}+2^{2}\right) \Rightarrow \int \frac{2 u}{\sqrt{h}} \cdot \frac{d h}{2 u}=\int \frac{1}{\sqrt{h}} d h
\\ \\
\int \frac{1}{\sqrt{h}} d h=\int \frac{1}{h^{\frac{1}{2}}} d h=
\int h^{-\frac{1}{2}} d h=
\left[1 \div (-\frac{1}{2}+1) \right] h^{-\frac{1}{2}+1}+C
\\ \\
=2 h^{\frac{1}{2}}+C
\\ \\ \\
\text { 解决第二式, 根据援引题Sample } 3:
\\ \\
\int \frac{1}{\sqrt{u^{2}+2^{2}}} d u=
\ln \left(\sqrt{u^{2}+2^{2}}+u\right)+C
\\ \\ \\
2 h^{\frac{1}{2}} - \ln \left(\sqrt{u^{2}+2^{2}}+u\right) +C
\\ \\
=2(x^{2}+2x+5)^{\frac{1}{2}}-\ln (\sqrt[]{x^{2}+2x+5}+x+1)+C
\end{align}
【推荐】国内首个AI IDE,深度理解中文开发场景,立即下载体验Trae
【推荐】编程新体验,更懂你的AI,立即体验豆包MarsCode编程助手
【推荐】抖音旗下AI助手豆包,你的智能百科全书,全免费不限次数
【推荐】轻量又高性能的 SSH 工具 IShell:AI 加持,快人一步
· 阿里最新开源QwQ-32B,效果媲美deepseek-r1满血版,部署成本又又又降低了!
· Manus重磅发布:全球首款通用AI代理技术深度解析与实战指南
· 开源Multi-agent AI智能体框架aevatar.ai,欢迎大家贡献代码
· 被坑几百块钱后,我竟然真的恢复了删除的微信聊天记录!
· AI技术革命,工作效率10个最佳AI工具