分部积分法

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设函数 $u=u(x)$ 及 $q = q(x)$ 具有连续导数，则有下述积分公式:

$$\int u q' dx=u q-\int u' q dx ,\quad (式0.0.1)$$

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prove

因为 $u=u(x)$ 及 $q = q(x)$ 具有连续导数，根据导数乘法公式得:

$$\begin{align} (u q)'=u' q + u q' \\ \\ \Rightarrow u q'=(u q)'-u' q \\ \\ (uq)^{\prime}+C\Rightarrow\int(u^{\prime}q+uq^{\prime})dx =\int u^{\prime}qdx+\int uq^{\prime}dx \\ \\ u^{\prime}q+C\Rightarrow q\int u^{\prime}dx \\ \\ uq^{\prime}+C\Rightarrow u\int q^{\prime}dx \\ \\ \\ (uq)^{\prime}-u^{\prime}q=\int u^{\prime}qdx+\int uq^{\prime}dx -q\int u^{\prime}dx \\ \\ =\int uq^{\prime} dx=uq^{\prime} \\ \\ \therefore \int uq^{\prime}dx=\int(uq)^{\prime}dx-\int u^{\prime}qdx \\ \\ \\ 又因为uq之导为(uq)', \enspace 即(uq)'之原函数为 uq \\ \\ \therefore \int (uq)'dx=uq+C \\ \\ \therefore \int uq^{\prime}dx=uq-\int u^{\prime}qdx \\ \\ \\ 综述: \int uq^{\prime}dx=\int(uq)^{\prime}dx-\int u^{\prime}qdx =uq-\int u^{\prime}qdx \end{align}$$

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noticeable

(式0.0.1)被称为分部积分公式，如果求$\int u q' dx$更难，而求$\int u' q dx$更容易时，就可以用分部积分公式去解决

(式0.0.1)可以简写为下面形式:

$$\int u d q=u q - \int q du,\quad (式0.0.2)$$

采用积分公式(式0.0.2)求 $\int f(x)dx$ 时，关键在于把原积分$\int f(x)dx$化为$\int ud q$的形式。
选取函数 $u(x)$ 与 $q(x)$ 时，一般考虑下面两点:

• 由 $q'$ 易求 $q$

• $\int q du$ 要比 $\int u d q$ 易求出

一般地，求解不定积分之时，若被积函数属于五类基本函数(幂函数、对数函数、指数函数、三角函数、反三角函数)之中任意两类函数的乘积之时，
往往要采用分部积分法，并按照“反、对、幂、指、三”的函数位置顺序，将位置靠前的函数设为$u$，靠后的函数设为$q'$

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briefly

将难以求出的积分$\int u dq$，转化为容易求出的积分$\int q du$，应用分部积分法的关键是如何恰当地选择$u$和$q$，通过求导的转移，简化被积函数

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Personal understand

$$\begin{align} 转译如下: \\ 设q(x)原函数为Q(x), \enspace 即: Q'(x)=q(x) \\ \\ \int u(x)q(x)dx=\int u(x)Q'(x)dx=u(x)Q(x)-\int u^{\prime}Q(x)dx \\ \\ \int u(x)q(x)dx = \int u(x)[q(x)之原函]dx = u(x)[q(x)之原函]- \int[u(x)之导][q(x)之原函]dx \end{align}$$

由以上继续推导得到如下:

$$\begin{align} 已得公式: \enspace \int uq^{\prime}dx=uq-\int u^{\prime}qdx \\ \\ 首先: \enspace \int uq^{\prime}dx=\int u\cdot(dx\cdot q^{\prime}) \\ \\ =\int udq \\ \\ 其次: \enspace \int u^{\prime}qdx=\int q\cdot(dx\cdot u^{\prime}) \\ \\ =\int qdu \\ \\ 综合: \\ \Rightarrow \int udq=uq-\int qdu \end{align}$$

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