分部积分法
depict
设函数 \(u=u(x)\) 及 \(q = q(x)\) 具有连续导数，则有下述积分公式:
\[\int u q' dx=u q-\int u' q dx ,\quad (式0.0.1)
\]
prove
因为 \(u=u(x)\) 及 \(q = q(x)\) 具有连续导数，根据导数乘法公式得:
\[
\begin{align}
(u q)'=u' q + u q'
\\ \\
\Rightarrow u q'=(u q)'-u' q
\\ \\
(uq)^{\prime}+C\Rightarrow\int(u^{\prime}q+uq^{\prime})dx
=\int u^{\prime}qdx+\int uq^{\prime}dx
\\ \\
u^{\prime}q+C\Rightarrow q\int u^{\prime}dx
\\ \\
uq^{\prime}+C\Rightarrow u\int q^{\prime}dx
\\ \\ \\
(uq)^{\prime}-u^{\prime}q=\int u^{\prime}qdx+\int uq^{\prime}dx
-q\int u^{\prime}dx
\\ \\
=\int uq^{\prime} dx=uq^{\prime}
\\ \\
\therefore \int uq^{\prime}dx=\int(uq)^{\prime}dx-\int u^{\prime}qdx
\\ \\ \\
又因为uq之导为(uq)', \enspace 即(uq)'之原函数为 uq
\\ \\
\therefore \int (uq)'dx=uq+C
\\ \\
\therefore \int uq^{\prime}dx=uq-\int u^{\prime}qdx
\\ \\ \\
综述: \int uq^{\prime}dx=\int(uq)^{\prime}dx-\int u^{\prime}qdx
=uq-\int u^{\prime}qdx
\end{align}
\]
noticeable
(式0.0.1)被称为分部积分公式，如果求\(\int u q' dx\)更难，而求\(\int u' q dx\)更容易时，就可以用分部积分公式去解决
(式0.0.1)可以简写为下面形式:
\[\int u d q=u q - \int q du,\quad (式0.0.2)
\]
采用积分公式(式0.0.2)求 \(\int f(x)dx\) 时，关键在于把原积分\(\int f(x)dx\)化为\(\int ud q\)的形式。
选取函数 \(u(x)\) 与 \(q(x)\) 时，一般考虑下面两点:
-
由 \(q'\) 易求 \(q\)
-
\(\int q du\) 要比 \(\int u d q\) 易求出
一般地，求解不定积分之时，若被积函数属于五类基本函数(幂函数、对数函数、指数函数、三角函数、反三角函数)之中任意两类函数的乘积之时，
往往要采用分部积分法，并按照“反、对、幂、指、三”的函数位置顺序，将位置靠前的函数设为\(u\)，靠后的函数设为\(q'\)
briefly
将难以求出的积分\(\int u dq\)，转化为容易求出的积分\(\int q du\)，应用分部积分法的关键是如何恰当地选择\(u\)和\(q\)，通过求导的转移，简化被积函数
Personal understand
\[\begin{align}
转译如下:
\\
设q(x)原函数为Q(x), \enspace 即: Q'(x)=q(x)
\\ \\
\int u(x)q(x)dx=\int u(x)Q'(x)dx=u(x)Q(x)-\int u^{\prime}Q(x)dx
\\ \\
\int u(x)q(x)dx
=
\int u(x)[q(x)之原函]dx
=
u(x)[q(x)之原函]-
\int[u(x)之导][q(x)之原函]dx
\end{align}
\]
由以上继续推导得到如下:
\[\begin{align}
已得公式: \enspace \int uq^{\prime}dx=uq-\int u^{\prime}qdx
\\ \\
首先: \enspace \int uq^{\prime}dx=\int u\cdot(dx\cdot q^{\prime})
\\ \\
=\int udq
\\ \\
其次: \enspace \int u^{\prime}qdx=\int q\cdot(dx\cdot u^{\prime})
\\ \\
=\int qdu
\\ \\
综合:
\\
\Rightarrow \int udq=uq-\int qdu
\end{align}
\]
