反函数
properties
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定义域和值域：
反函数\(y=f^{-1}(x)\)的定义域是函数\(y=f(x)\)的值域， \(y=f^{-1}(x)\)的值域是函数\(y=f(x)\)的定义域
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单调性：
一个函数与它的反函数在相应区间上单调性一致。
严格增(减)的函数一定有严格增(减)的反函数 -
对称性：互为反函数的两个函数的图象关于直线\(y=x\)对称。
- 存在性：
- 函数存在反函数的充要条件是，函数在它的定义域上是单调的。
- 偶函数一定不存在反函数
- 奇函数不一定存在反函数
- 但如果一个奇函数存在反函数，则它的反函数也是奇函数
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唯一性：反函数是相互的且具有唯一性。
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导数关系：
如果\(x=f(y)\)在区间\(I_{y}\)上单调，连续，且\(f'(y)≠0\),
那么它的反函数\(y=f^{-1}(x)\)在区间\(I_{x}\)上单调，连续,公式: $ [f^{-1}]'(x)=\frac{1}{f'(x)} $
paradigm 0
\[\begin{align}
已知函数:y=3\sin x
\\ \\
y^{-1}=?
\\ \\
x=3\sin y
\\ \\
\frac{x}{3}=\sin y
\\ \\
调用 \arcsin 函数:
\\
y^{-1}=\arcsin(\frac{x}{3}),
\quad
y\in[-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}]
\end{align}
\]
