第二换元积分法(别称变量代换法)

introduction

设$x=\phi(t)$是单调可导函数，并且$\phi '(t) \ne 0$

又设: $f[\phi(t)]\phi'(t)$具有原函数$\Phi(t)$，则有:

$$\int f(x)dx=\int f[\phi(t)]\phi'(t)dt=\Phi(t)+C=\Phi[\phi^{-1}(x)]+C$$

其中: $\phi^{-1}(x)$是$x=\phi(t)$的反函数

定理的意义: 当以$x$为积分变量之时，$\int f(x)dx$难解

进行变量替换$x=\phi(t)$之后，容易求得原函数$\Phi(t)$

回代后便得到$f(x)$的原函数

此方法适用于解决一些涉及无理函数的积分

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根式代换法

当被积函数之中含有形如 $\sqrt[k]{ax+b}$ 的根式，就常常应用此法

praxis 0

$$\begin{align} \int\frac{1}{\sqrt{x}(1+\sqrt[3]{x})}dx=? \\ \\ \Rightarrow\int\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}(1+x^{\frac{1}{3}})}dx \\ \\ 设:t=x^{\frac{1}{2}}, \quad x=t^{6} \\ \\ \Rightarrow\int\frac{1}{t^{3}(1+t^{2})}d(t^{6}) \\ \\ dt^{6}=(t^{6})^{\prime}dt,\quad dx=6t^{5}dt \\ \\ \Rightarrow\int\frac{1}{t^{3}(1+t^{2})}\cdot dt^{6}dt \\ \\ =6\int\frac{t^{2}}{1+t^{2}}dx\Rightarrow6\int\frac{t^{2}+1-1}{1+t^{2}}dt \\ \\ =6\int (\frac{t^{2}+1}{1+t^{2}}-\frac{1}{1+t^{2}})dt=6\int(1-\frac{1}{1+t^{2}})dt \\ \\ =6\int 1dt-6\int\frac{1}{1+t^2}dt \\ \\ 根据积分公式: \int\frac{1}{1+x^{2}}dx=\arctan x+C \\ \\ 得到: \enspace 6t-6\arctan t+C \\ \\ =6(\sqrt[6]{x}-\arctan \sqrt[6]{x})+C \end{align}$$

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praxis 1

$$\begin{align} \int\frac{x}{\sqrt{x-3}}dx=? \\ \\ 设:t=\sqrt{x-3}, \quad x=t^{2}+3 \\ \\ \Rightarrow\int\frac{t^{2}+3}{t}d\left(t^{2}+3\right) \\ \\ d\left(t^{2}+3\right)=\left(t^{2}+3\right)^{\prime}dt, \quad dx=2tdt \\ \\ \Rightarrow\int\frac{t^{2}+3}{t}\cdot2tdt=2\int\left(t^{2}+3\right)dt \\ \\ =2\left(\frac{1}{3}t^{3}+3t\right)+C \\ \\ 2\left[\frac{1}{3}\left(t^{3}+9t\right)\right]+C \\ \\ \frac{2}{3}(t^{3}+9t)+C \\ \\ \frac{2}{3}[(x-3)(\sqrt{x-3})+9\sqrt{x-3}]+C \\ \\ \frac{2}{3}[(\sqrt{x-3})(x-3+9)]+C \\ \\ =\frac{2}{3}(\sqrt{x-3})(x+6)+C \end{align}$$

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三角代换法

当被积函数之中含有形如$\sqrt[]{a^{2}-x^{2}} ,\enspace \sqrt[]{a^{2}+x^{2}} ,\enspace \sqrt[]{x^{2}-a^{2}}$ 的根式之时，便经常采用此法

• 一般而言，当被积函数之中含有形如 $\sqrt[]{a^{2}-x^{2}}$ ，可以作代换式 $x=a\sin t$ 或 $x=a\cos t$ 化去根式

• 一般而言，当被积函数之中含有形如 $\sqrt[]{a^{2}+x^{2}}$ ，可以作代换式 $x=a\tan t$ 或 $x=a\cot t$ 化去根式

• 一般而言，当被积函数之中含有形如 $\sqrt[]{x^{2}-a^{2}}$ ，可以作代换式 $x=a\sec t$ 或 $x=a\csc t$ 化去根式

上述三条是一般而言，非确凿定之，具体情况具体分析，勿拘泥于此

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sample 0

$$\begin{eqnarray} \int\sqrt{a^{2}-x^{2}}dx=?(a>0) \\ \\ 设:x=\sin t,\enspace t\in[-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}],\enspace 所以 t=\arcsin\frac{x}{a} \\ \\ \int\sqrt{a^{2}-(a\sin t)^{2}}d(a\sin t) \\ \\ dx=d(a\sin t)=(a\sin t)^{\prime}dt=a\cos tdt \\ \\ \\ \\ \int\sqrt{a^{2}\left(1-\sin^{2}t\right)}\cdot a\cos tdt \\ \\ \int a\sqrt{1-\sin^{2}t}\cdot a\cos tdt \\ \\ 根据公式:\enspace \cos^{2}x=1-\sin^{2}x \\ \\ \\ \Rightarrow a^{2}\int\sqrt{\cos^{2}t}\cdot\cos tdt=a^{2}\int\cos^{2}tdt \\ \\ 据积化和差公式:\enspace \cos\alpha\cos\beta=\frac{1}{2}[\cos(\alpha+\beta)+\cos(\alpha-\beta)] \\ \\ \Rightarrow a^{2}\int\frac{\cos(t+t)+\cos(t-t)}{2}dt=a^{2}\int\frac{\cos2t+1}{2}dt \\ \\ 因为: \int \cos 2x dx=\frac{\sin 2x}{2}+C \\ \\ =\frac{1}{2}a^{2}[\frac{\sin2t}{2}+t]+C \\ \\ =\frac{a^{2}}{2}[\frac{\sin(t+t)}{2}+t]+C \\ \\ 根据和差角公式得到如下: \\ =\frac{a^{2}}{2}(\sin t\cos t+t)+C \\ \\ \\ \therefore t=\arcsin\frac{x}{a},\enspace \sin t=\frac{x}{a} \\ \\ \because\sqrt{a^{2}-x^{2}}=\sqrt{a^{2}-(a\sin t)^{2}}=\sqrt{a^{2}(1-\sin^{2}t)} \\ \\ \therefore\cos t=\frac{\sqrt{a^{2}-x^{2}}}{a} \\ \\ \Rightarrow \frac{a^{2}}{2}[\frac{x}{a}\cdot\frac{\sqrt{a^{2}-x^{2}}}{a} +\arcsin\frac{x}{a}]+C \\ \\ =\frac{a^{2}}{2}\cdot\frac{x\sqrt{a^{2}-x^{2}}}{a^{2}}+\frac{a^{2}}{2}\arcsin\frac{x}{a}+C \\ \\ =\frac{x}{2}\sqrt{a^{2}-x^{2}}+\frac{a^{2}}{2}\arcsin\frac{x}{a}+C \end{eqnarray}$$

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sample 1

$$\begin{align} \int\frac{1}{x\sqrt{x^{2}-1}}dx=? \\ \\ 设: x=\sec t=\frac{1}{\cos t} \\ \\ dx=d\left(\sec t\right)=\left(\sec t\right)^{\prime}dt=\sec t\tan tdt \\ \\ \Rightarrow \int\frac{1}{\sec t\sqrt{\sec^{2}t-1}}\cdot \sec t \tan t dt \\ \\ =\int\frac{1}{\sec t\tan t}\cdot \sec t \tan t dt =\int1dt \\ \\ =t+C \\ \\ \cos t=\frac{1}{x},\enspace t=\arccos\frac{1}{x} \\ \\ =\arccos\frac{1}{x}+C \end{align}$$

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sample 2

援引题01: Sample 0

$$\begin{align} \int\frac{1}{\sqrt{x^{2}-a^{2}}}dx=? \quad (a>0) \\ \\ 设: x=a\sec t, \enspace \sec t=\frac{x}{a} \\ \\ \int\frac{1}{\sqrt{a^{2}\sec^{2}t-a^{2}}}\cdot d(a\sec t) \\ \\ dx=d(a\sec t)=(a\sec t)'dt=a\sec t\tan t dt \\ \\ \int\frac{1}{\sqrt{a^{2}\left(\sec^{2}t-1\right)}}\cdot a\sec t\tan t dt \\ \\ \int\frac{1}{a\tan t}\cdot a\sec t\tan t dt=\int\sec tdt \\ \\ 根据援引题01: \\ \Rightarrow \ln|\sec t+\tan t|+C \\ \\ \tan t=\sqrt{\sec^{2}t-1}=\sqrt{\left(\frac{x}{a}\right)^{2}-1}=\frac{\sqrt{x^{2}-a^{2}}}{a} \\ \\ =\ln \vert\frac{x}{a}+\frac{\sqrt{x^{2}-a^{2}}}{a}\vert+C \\ \\ =\ln \vert\frac{x+\sqrt{x^{2}-a^{2}}}{a}\vert+C \\ \\ \Rightarrow\ln(x+\sqrt{x^{2}-a^{2}})-\ln a+C \\ \\ \because \ln a亦为常数 \\ \\ \therefore -\ln a+C = C \\ \\ \Rightarrow\ln(x+\sqrt{x^{2}-a^{2}})+C \end{align}$$

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sample 3

援引题01: Sample 0

$$\begin{align} \int\frac{1}{\sqrt{a^{2}+x^{2}}}dx=? \quad(a>0) \\ \\ 设:x=a\tan t, \quad \tan t=\frac{x}{a} \\ \\ \int\frac{1}{\sqrt{a^{2}+\left(a\tan t\right)^{2}}}d\left(a\tan t\right) \\ \\ dx=d(a\tan t)=(a\tan t)^{\prime}dt=a\sec^{2}tdt \\ \\ \int\frac{1}{\sqrt{a^{2}\left(1+\tan^{2}t\right)}}\cdot a\sec^{2}tdt \\ \\ \int\frac{1}{a\sec t}\cdot a\sec^{2}tdt \\ \\ =\int\sec tdt \\ \\ 根据援引题01: \\ =\ln \vert\sec t\tan t\vert+C \\ \\ \\ \sec t=\sqrt{1+(\frac{x}{a})^{2}}=\frac{\sqrt{a^{2}+x^{2}}}{a} \\ \\ \Rightarrow \ln |\frac{\sqrt{a^{2}+x^{2}}}{a}+\frac{x}{a}|+C \\ \\ =\ln \vert\frac{\sqrt{a^{2}+x^{2}}+x}{a}\vert+C \\ \\ \Rightarrow\ln(\sqrt{a^{2}+x^{2}}+x)-\ln a+C \\ \\ \because \ln a 等同于常数 \\ \\ \therefore -\ln a+C = C \\ \\ \Rightarrow\ln(\sqrt{a^{2}+x^{2}}+x)+C \end{align}$$

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倒代换

倒代换一般用于形如 $\int \frac{f(\sqrt[]{x^{2} \pm a^{2}})}{x^{n}} dx$ 的不定积分，令$x=\frac{1}{t}$，消去分母中的变量因子$x$，或降低分母中$x$的幂次

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instance 00

援引题001: example 8

$$\begin{align} \int\frac{1}{x^{3}(x^{2}+1)}dx=? \\ \\ 设:x=\frac{1}{t}=t^{-1} \\ \\ \Rightarrow\int\frac{1}{t^{-3}(t^{-2}+1)}d(t^{-1}) \\ \\ dx=d(t^{-1})=(t^{-1})^{\prime}dt=-t^{-2}dt \\ \\ \Rightarrow\int\frac{1}{t^{-3}(t^{-2}+1)}\cdot-1\cdot t^{-2}dt \\ \\ =-\int\frac{1}{t^{-3}}\cdot\frac{1}{t^{-2}+1}\cdot t^{-2}dt \\ \\ =-\int t^{3}\cdot\frac{1}{(t^{-2}+1)t^{2}}dt=-\int\frac{t^{3}}{1+t^{2}}dt \\ \\ \Rightarrow-\int\frac{t^{3}+t-t}{1+t^{2}}dt=-\int(\frac{t^{3}+t}{1+t^{2}}-\frac{t}{1+t^{2}})dt \\ \\ =-\int(t-\frac{t}{1+t^{2}})dt\Rightarrow-\int tdt+\int\frac{t}{1+t^{2}}dt \\ \\ -\int tdt=-\frac{1}{2}t^{2}+C \\ \\ 根据援引题001: \\ \int\frac{t}{1+t^{2}}dt=\frac{1}{2}\ln|1+t^{2}|+C \\ \\ \\ 综合上述: \\ -\frac{1}{2} t^{2}+\frac{1}{2} \ln \vert 1+t^{2} \vert +C \\ \\ \because t=\frac{1}{x} \\ \\ \therefore -\frac{1}{2x^{2}} +\frac{1}{2} \ln \vert 1+ \frac{1}{x^{2}} \vert +C \end{align}$$

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