第二换元积分法(别称变量代换法)
introduction
设\(x=\phi(t)\)是单调可导函数，并且\(\phi '(t) \ne 0\)
又设: \(f[\phi(t)]\phi'(t)\)具有原函数\(\Phi(t)\)，则有:
\[\int f(x)dx=\int f[\phi(t)]\phi'(t)dt=\Phi(t)+C=\Phi[\phi^{-1}(x)]+C
\]
其中: \(\phi^{-1}(x)\)是\(x=\phi(t)\)的反函数
定理的意义: 当以\(x\)为积分变量之时，\(\int f(x)dx\)难解
进行变量替换\(x=\phi(t)\)之后，容易求得原函数\(\Phi(t)\)
回代后便得到\(f(x)\)的原函数
此方法适用于解决一些涉及无理函数的积分
根式代换法
当被积函数之中含有形如 \(\sqrt[k]{ax+b}\) 的根式，就常常应用此法
praxis 0
\[\begin{align}
\int\frac{1}{\sqrt{x}(1+\sqrt[3]{x})}dx=?
\\ \\
\Rightarrow\int\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}(1+x^{\frac{1}{3}})}dx
\\ \\
设:t=x^{\frac{1}{2}}, \quad x=t^{6}
\\ \\
\Rightarrow\int\frac{1}{t^{3}(1+t^{2})}d(t^{6})
\\ \\
dt^{6}=(t^{6})^{\prime}dt,\quad dx=6t^{5}dt
\\ \\
\Rightarrow\int\frac{1}{t^{3}(1+t^{2})}\cdot dt^{6}dt
\\ \\
=6\int\frac{t^{2}}{1+t^{2}}dx\Rightarrow6\int\frac{t^{2}+1-1}{1+t^{2}}dt
\\ \\
=6\int (\frac{t^{2}+1}{1+t^{2}}-\frac{1}{1+t^{2}})dt=6\int(1-\frac{1}{1+t^{2}})dt
\\ \\
=6\int 1dt-6\int\frac{1}{1+t^2}dt
\\ \\
根据积分公式: \int\frac{1}{1+x^{2}}dx=\arctan x+C
\\ \\
得到: \enspace 6t-6\arctan t+C
\\ \\
=6(\sqrt[6]{x}-\arctan \sqrt[6]{x})+C
\end{align}
\]
praxis 1
\[\begin{align}
\int\frac{x}{\sqrt{x-3}}dx=?
\\ \\
设:t=\sqrt{x-3}, \quad x=t^{2}+3
\\ \\
\Rightarrow\int\frac{t^{2}+3}{t}d\left(t^{2}+3\right)
\\ \\
d\left(t^{2}+3\right)=\left(t^{2}+3\right)^{\prime}dt, \quad dx=2tdt
\\ \\
\Rightarrow\int\frac{t^{2}+3}{t}\cdot2tdt=2\int\left(t^{2}+3\right)dt
\\ \\
=2\left(\frac{1}{3}t^{3}+3t\right)+C
\\ \\
2\left[\frac{1}{3}\left(t^{3}+9t\right)\right]+C
\\ \\
\frac{2}{3}(t^{3}+9t)+C
\\ \\
\frac{2}{3}[(x-3)(\sqrt{x-3})+9\sqrt{x-3}]+C
\\ \\
\frac{2}{3}[(\sqrt{x-3})(x-3+9)]+C
\\ \\
=\frac{2}{3}(\sqrt{x-3})(x+6)+C
\end{align}
\]
三角代换法
当被积函数之中含有形如\(\sqrt[]{a^{2}-x^{2}} ,\enspace \sqrt[]{a^{2}+x^{2}} ,\enspace \sqrt[]{x^{2}-a^{2}}\) 的根式之时，便经常采用此法
- 一般而言，当被积函数之中含有形如 \(\sqrt[]{a^{2}-x^{2}}\) ，可以作代换式 \(x=a\sin t\) 或 \(x=a\cos t\) 化去根式
- 一般而言，当被积函数之中含有形如 \(\sqrt[]{a^{2}+x^{2}}\) ，可以作代换式 \(x=a\tan t\) 或 \(x=a\cot t\) 化去根式
- 一般而言，当被积函数之中含有形如 \(\sqrt[]{x^{2}-a^{2}}\) ，可以作代换式 \(x=a\sec t\) 或 \(x=a\csc t\) 化去根式
上述三条是一般而言，非确凿定之，具体情况具体分析，勿拘泥于此
sample 0
\[\begin{eqnarray}
\int\sqrt{a^{2}-x^{2}}dx=?(a>0)
\\ \\
设:x=\sin t,\enspace t\in[-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}],\enspace 所以 t=\arcsin\frac{x}{a}
\\ \\
\int\sqrt{a^{2}-(a\sin t)^{2}}d(a\sin t)
\\ \\
dx=d(a\sin t)=(a\sin t)^{\prime}dt=a\cos tdt
\\ \\
\\ \\
\int\sqrt{a^{2}\left(1-\sin^{2}t\right)}\cdot a\cos tdt
\\ \\
\int a\sqrt{1-\sin^{2}t}\cdot a\cos tdt
\\ \\
根据公式:\enspace \cos^{2}x=1-\sin^{2}x
\\ \\ \\
\Rightarrow a^{2}\int\sqrt{\cos^{2}t}\cdot\cos tdt=a^{2}\int\cos^{2}tdt
\\ \\
据积化和差公式:\enspace \cos\alpha\cos\beta=\frac{1}{2}[\cos(\alpha+\beta)+\cos(\alpha-\beta)]
\\ \\
\Rightarrow a^{2}\int\frac{\cos(t+t)+\cos(t-t)}{2}dt=a^{2}\int\frac{\cos2t+1}{2}dt
\\ \\
因为: \int \cos 2x dx=\frac{\sin 2x}{2}+C
\\ \\
=\frac{1}{2}a^{2}[\frac{\sin2t}{2}+t]+C
\\ \\
=\frac{a^{2}}{2}[\frac{\sin(t+t)}{2}+t]+C
\\ \\
根据和差角公式得到如下:
\\
=\frac{a^{2}}{2}(\sin t\cos t+t)+C
\\ \\ \\
\therefore t=\arcsin\frac{x}{a},\enspace \sin t=\frac{x}{a}
\\ \\
\because\sqrt{a^{2}-x^{2}}=\sqrt{a^{2}-(a\sin t)^{2}}=\sqrt{a^{2}(1-\sin^{2}t)}
\\ \\
\therefore\cos t=\frac{\sqrt{a^{2}-x^{2}}}{a}
\\ \\
\Rightarrow
\frac{a^{2}}{2}[\frac{x}{a}\cdot\frac{\sqrt{a^{2}-x^{2}}}{a}
+\arcsin\frac{x}{a}]+C
\\ \\
=\frac{a^{2}}{2}\cdot\frac{x\sqrt{a^{2}-x^{2}}}{a^{2}}+\frac{a^{2}}{2}\arcsin\frac{x}{a}+C
\\ \\
=\frac{x}{2}\sqrt{a^{2}-x^{2}}+\frac{a^{2}}{2}\arcsin\frac{x}{a}+C
\end{eqnarray}
\]
sample 1
\[\begin{align}
\int\frac{1}{x\sqrt{x^{2}-1}}dx=?
\\ \\
设: x=\sec t=\frac{1}{\cos t}
\\ \\
dx=d\left(\sec t\right)=\left(\sec t\right)^{\prime}dt=\sec t\tan tdt
\\ \\
\Rightarrow
\int\frac{1}{\sec t\sqrt{\sec^{2}t-1}}\cdot \sec t \tan t dt
\\ \\
=\int\frac{1}{\sec t\tan t}\cdot \sec t \tan t dt
=\int1dt
\\ \\
=t+C
\\ \\
\cos t=\frac{1}{x},\enspace t=\arccos\frac{1}{x}
\\ \\
=\arccos\frac{1}{x}+C
\end{align}
\]
sample 2
援引题01: Sample 0
\[\begin{align}
\int\frac{1}{\sqrt{x^{2}-a^{2}}}dx=? \quad (a>0)
\\ \\
设: x=a\sec t, \enspace \sec t=\frac{x}{a}
\\ \\
\int\frac{1}{\sqrt{a^{2}\sec^{2}t-a^{2}}}\cdot d(a\sec t)
\\ \\
dx=d(a\sec t)=(a\sec t)'dt=a\sec t\tan t dt
\\ \\
\int\frac{1}{\sqrt{a^{2}\left(\sec^{2}t-1\right)}}\cdot a\sec t\tan t dt
\\ \\
\int\frac{1}{a\tan t}\cdot a\sec t\tan t dt=\int\sec tdt
\\ \\
根据援引题01: \\
\Rightarrow \ln|\sec t+\tan t|+C
\\ \\
\tan t=\sqrt{\sec^{2}t-1}=\sqrt{\left(\frac{x}{a}\right)^{2}-1}=\frac{\sqrt{x^{2}-a^{2}}}{a}
\\ \\
=\ln \vert\frac{x}{a}+\frac{\sqrt{x^{2}-a^{2}}}{a}\vert+C
\\ \\
=\ln \vert\frac{x+\sqrt{x^{2}-a^{2}}}{a}\vert+C
\\ \\
\Rightarrow\ln(x+\sqrt{x^{2}-a^{2}})-\ln a+C
\\ \\
\because \ln a亦为常数
\\ \\
\therefore -\ln a+C = C
\\ \\
\Rightarrow\ln(x+\sqrt{x^{2}-a^{2}})+C
\end{align}
\]
sample 3
援引题01: Sample 0
\[\begin{align}
\int\frac{1}{\sqrt{a^{2}+x^{2}}}dx=? \quad(a>0)
\\ \\
设:x=a\tan t, \quad \tan t=\frac{x}{a}
\\ \\
\int\frac{1}{\sqrt{a^{2}+\left(a\tan t\right)^{2}}}d\left(a\tan t\right)
\\ \\
dx=d(a\tan t)=(a\tan t)^{\prime}dt=a\sec^{2}tdt
\\ \\
\int\frac{1}{\sqrt{a^{2}\left(1+\tan^{2}t\right)}}\cdot a\sec^{2}tdt
\\ \\
\int\frac{1}{a\sec t}\cdot a\sec^{2}tdt
\\ \\
=\int\sec tdt
\\ \\
根据援引题01:
\\
=\ln \vert\sec t\tan t\vert+C
\\ \\ \\
\sec t=\sqrt{1+(\frac{x}{a})^{2}}=\frac{\sqrt{a^{2}+x^{2}}}{a}
\\ \\
\Rightarrow
\ln |\frac{\sqrt{a^{2}+x^{2}}}{a}+\frac{x}{a}|+C
\\ \\
=\ln \vert\frac{\sqrt{a^{2}+x^{2}}+x}{a}\vert+C
\\ \\
\Rightarrow\ln(\sqrt{a^{2}+x^{2}}+x)-\ln a+C
\\ \\
\because \ln a 等同于常数
\\ \\
\therefore -\ln a+C = C
\\ \\
\Rightarrow\ln(\sqrt{a^{2}+x^{2}}+x)+C
\end{align}
\]
倒代换
倒代换一般用于形如 \(\int \frac{f(\sqrt[]{x^{2} \pm a^{2}})}{x^{n}} dx\) 的不定积分，令\(x=\frac{1}{t}\)，消去分母中的变量因子\(x\)，或降低分母中\(x\)的幂次
instance 00
援引题001: example 8
\[\begin{align}
\int\frac{1}{x^{3}(x^{2}+1)}dx=?
\\ \\
设:x=\frac{1}{t}=t^{-1}
\\ \\
\Rightarrow\int\frac{1}{t^{-3}(t^{-2}+1)}d(t^{-1})
\\ \\
dx=d(t^{-1})=(t^{-1})^{\prime}dt=-t^{-2}dt
\\ \\
\Rightarrow\int\frac{1}{t^{-3}(t^{-2}+1)}\cdot-1\cdot t^{-2}dt
\\ \\
=-\int\frac{1}{t^{-3}}\cdot\frac{1}{t^{-2}+1}\cdot t^{-2}dt
\\ \\
=-\int t^{3}\cdot\frac{1}{(t^{-2}+1)t^{2}}dt=-\int\frac{t^{3}}{1+t^{2}}dt
\\ \\
\Rightarrow-\int\frac{t^{3}+t-t}{1+t^{2}}dt=-\int(\frac{t^{3}+t}{1+t^{2}}-\frac{t}{1+t^{2}})dt
\\ \\
=-\int(t-\frac{t}{1+t^{2}})dt\Rightarrow-\int tdt+\int\frac{t}{1+t^{2}}dt
\\ \\
-\int tdt=-\frac{1}{2}t^{2}+C
\\ \\
根据援引题001:
\\
\int\frac{t}{1+t^{2}}dt=\frac{1}{2}\ln|1+t^{2}|+C
\\ \\ \\
综合上述: \\
-\frac{1}{2} t^{2}+\frac{1}{2} \ln \vert 1+t^{2} \vert +C
\\ \\
\because t=\frac{1}{x}
\\ \\
\therefore -\frac{1}{2x^{2}} +\frac{1}{2} \ln \vert 1+ \frac{1}{x^{2}} \vert +C
\end{align}
\]
