三角函数之和差化积公式(贰)

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从积化和差推衍得到和差化积

First

\begin{aligned} (1) & 已 知 积 化 和 差 公 式 : \\ (2) & \sin α \cos β = \frac{\sin (α + β) + \sin (α - β)}{2} \\ (3) \\ (4) & 设 α \Rightarrow \frac{α + β}{2}, β \Rightarrow \frac{α - β}{2}, 将 假 设 代 入 积 化 和 差 公 式 : \\ (5) \\ (6) & 2 \sin (\frac{α + β}{2}) \cos (\frac{α - β}{2}) = \sin (\frac{α + β}{2} + \frac{α - β}{2}) + \sin (\frac{α + β}{2} - \frac{α - β}{2}) \\ (7) \\ (8) \\ (9) & \Rightarrow \sin (\frac{2 α + β - β}{2}) + \sin (\frac{α - α + β + β}{2}) \\ (10) \\ (11) & \Rightarrow \sin (\frac{2 α}{2}) + \sin (\frac{2 β}{2}) = \sin α + \sin β \\ (12) \\ (13) & ∴ 2 \sin \frac{α + β}{2} \cos \frac{α - β}{2} = \sin α + \sin β \\ (14) \\ (15) & 获 得 公 式 1 : \sin α + \sin β = 2 \sin \frac{α + β}{2} \cos \frac{α - β}{2} \end{aligned}

$\begin{align} 已知积化和差公式: \\ \sin\alpha\cos\beta= \frac{\sin\left(\alpha+\beta\right)+\sin\left(\alpha-\beta\right)}{2} \\ \\ 设\alpha\Rightarrow\frac{\alpha+\beta}{2}, \enspace \beta\Rightarrow\frac{\alpha-\beta}{2} \enspace,将假设代入积化和差公式: \\ \\ 2\sin(\frac{\alpha+\beta}{2})\cos(\frac{\alpha-\beta}{2}) =\sin(\frac{\alpha+\beta}{2}+\frac{\alpha-\beta}{2}) + \sin(\frac{\alpha+\beta}{2}-\frac{\alpha-\beta}{2}) \\ \\ \\ \Rightarrow\sin\left(\frac{2\alpha+\beta-\beta}{2}\right)+\sin\left(\frac{\alpha-\alpha+\beta+\beta}{2}\right) \\ \\ \Rightarrow\sin\left(\frac{2\alpha}{2}\right)+\sin\left(\frac{2\beta}{2}\right)=\sin\alpha+\sin\beta \\ \\ \therefore 2\sin\frac{\alpha+\beta}{2}\cos\frac{\alpha-\beta}{2} =\sin\alpha+\sin\beta \\ \\ 获得公式1: \enspace \sin\alpha+\sin\beta=2\sin\frac{\alpha+\beta}{2}\cos\frac{\alpha-\beta}{2} \end{align}$

Second

\begin{aligned} (16) & 已 知 积 化 和 差 公 式 : \\ (17) & \cos α \sin β = \frac{\sin (α + β) - \sin (α - β)}{2} \\ (18) \\ (19) & 设 α \Rightarrow \frac{α + β}{2}, β \Rightarrow \frac{α - β}{2}, 将 假 设 代 入 积 化 和 差 公 式 : \\ (20) \\ (21) & 2 \cos (\frac{α + β}{2}) \sin (\frac{α - β}{2}) = \sin (\frac{α + β}{2} + \frac{α - β}{2}) - \sin (\frac{α + β}{2} - \frac{α - β}{2}) \\ (22) \\ (23) & \Rightarrow \sin (\frac{2 α}{2}) - \sin (\frac{2 β}{2}) = \sin α - \sin β \\ (24) \\ (25) & ∴ 2 \cos (\frac{α + β}{2}) \sin (\frac{α - β}{2}) = \sin α - \sin β \\ (26) \\ (27) & 获 得 公 式 2 : \sin α - \sin β = 2 \cos \frac{α + β}{2} \sin \frac{α - β}{2} \end{aligned}

$\begin{align} 已知积化和差公式: \\ \cos\alpha\sin\beta=\frac{\sin\left(\alpha+\beta\right)-\sin\left(\alpha-\beta\right)}{2} \\ \\ 设\alpha\Rightarrow\frac{\alpha+\beta}{2}, \enspace \beta\Rightarrow\frac{\alpha-\beta}{2} \enspace,将假设代入积化和差公式: \\ \\ 2\cos(\frac{\alpha+\beta}{2})\sin(\frac{\alpha-\beta}{2})=\sin(\frac{\alpha+\beta}{2}+\frac{\alpha-\beta}{2}) -\sin(\frac{\alpha+\beta}{2}-\frac{\alpha-\beta}{2}) \\ \\ \Rightarrow\sin(\frac{2\alpha}{2})-\sin(\frac{2\beta}{2})=\sin\alpha-\sin\beta \\ \\ \therefore 2\cos(\frac{\alpha+\beta}{2})\sin(\frac{\alpha-\beta}{2})=\sin\alpha-\sin\beta \\ \\ 获得公式2: \enspace \sin\alpha-\sin\beta=2\cos\frac{\alpha+\beta}{2}\sin\frac{\alpha-\beta}{2} \end{align}$

Third

\begin{aligned} (28) & 已 知 积 化 和 差 公 式 : \\ (29) & \cos α \cos β = \frac{\cos (α + β) + \cos (α - β)}{2} \\ (30) \\ (31) & 设 α \Rightarrow \frac{α + β}{2}, β \Rightarrow \frac{α - β}{2}, 将 假 设 代 入 积 化 和 差 公 式 : \\ (32) \\ (33) & 2 \cos (\frac{α + β}{2}) \cos (\frac{α - β}{2}) = \cos (\frac{α + β}{2} + \frac{α - β}{2}) + \cos (\frac{α + β}{2} - \frac{α - β}{2}) \\ (34) \\ (35) & \Rightarrow \cos (\frac{2 α + β - β}{2}) + \cos (\frac{α - α + β + β}{2}) \\ (36) & \Rightarrow \cos (\frac{2 α}{2}) + \cos (\frac{2 β}{2}) = \cos α + \cos β \\ (37) \\ (38) & ∴ 2 \cos (\frac{α + β}{2}) \cos (\frac{α - β}{2}) = \cos α + \cos β \\ (39) \\ (40) & 获 得 公 式 3 : \cos α + \cos β = 2 \cos \frac{α + β}{2} \cos \frac{α - β}{2} \end{aligned}

$\begin{align} 已知积化和差公式: \\ \cos\alpha\cos\beta=\frac{\cos(\alpha+\beta)+\cos(\alpha-\beta)}{2} \\ \\ 设\alpha\Rightarrow\frac{\alpha+\beta}{2}, \enspace \beta\Rightarrow\frac{\alpha-\beta}{2} \enspace,将假设代入积化和差公式: \\ \\ 2\cos(\frac{\alpha+\beta}{2})\cos(\frac{\alpha-\beta}{2})=\cos(\frac{\alpha+\beta}{2}+\frac{\alpha-\beta}{2}) +\cos(\frac{\alpha+\beta}{2}-\frac{\alpha-\beta}{2}) \\ \\ \Rightarrow\cos(\frac{2\alpha+\beta-\beta}{2})+\cos(\frac{\alpha-\alpha+\beta+\beta}{2}) \\ \Rightarrow\cos(\frac{2\alpha}{2})+\cos(\frac{2\beta}{2})=\cos\alpha+\cos\beta \\ \\ \therefore2\cos(\frac{\alpha+\beta}{2})\cos(\frac{\alpha-\beta}{2}) =\cos\alpha+\cos\beta \\ \\ 获得公式3: \enspace \cos\alpha+\cos\beta = 2\cos\frac{\alpha+\beta}{2}\cos\frac{\alpha-\beta}{2} \end{align}$

Fourth

\begin{aligned} (41) & 已 知 积 化 和 差 公 式 : \\ (42) & \sin α \sin β = \frac{\cos (α + β) - \cos (α - β)}{- 2} \\ (43) & 设 α \Rightarrow \frac{α + β}{2}, β \Rightarrow \frac{α - β}{2}, 将 假 设 代 入 积 化 和 差 公 式 : \\ (44) \\ (45) & - 2 \sin (\frac{α + β}{2}) \sin (\frac{α - β}{2}) = \cos (\frac{α + β}{2} + \frac{α - β}{2}) - \cos (\frac{α + β}{2} - \frac{α - β}{2}) \\ (46) \\ (47) & \Rightarrow \cos (\frac{2 α}{2}) - \cos (\frac{2 β}{2}) = \cos α - \cos β \\ (48) \\ (49) & ∴ - 2 \sin (\frac{α + β}{2}) \sin (\frac{α - β}{2}) = \cos α - \cos β \\ (50) \\ (51) & 获 得 公 式 4 : \cos α - \cos β = - 2 \sin \frac{α + β}{2} \sin \frac{α - β}{2} \end{aligned}

$\begin{align} 已知积化和差公式: \\ \sin\alpha\sin\beta=\frac{\cos(\alpha+\beta)-\cos(\alpha-\beta)}{-2} \\ 设\alpha\Rightarrow\frac{\alpha+\beta}{2}, \enspace \beta\Rightarrow\frac{\alpha-\beta}{2} \enspace,将假设代入积化和差公式: \\ \\ -2\sin(\frac{\alpha+\beta}{2})\sin(\frac{\alpha-\beta}{2})=\cos(\frac{\alpha+\beta}{2}+ \frac{\alpha-\beta}{2})-\cos(\frac{\alpha+\beta}{2}-\frac{\alpha-\beta}{2}) \\ \\ \Rightarrow\cos\left(\frac{2\alpha}{2}\right)-\cos\left(\frac{2\beta}{2}\right) =\cos\alpha-\cos\beta \\ \\ \therefore -2\sin\left( \frac{\alpha+\beta}{2} \right)\sin\left(\frac{\alpha-\beta}{2}\right) =\cos\alpha-\cos\beta \\ \\ 获得公式4: \enspace \cos\alpha-\cos\beta = -2\sin\frac{\alpha+\beta}{2}\sin\frac{\alpha-\beta}{2} \end{align}$

Summarize

\begin{aligned} (52) & 公 式 1 : \sin α + \sin β = 2 \sin \frac{α + β}{2} \cos \frac{α - β}{2} \\ (53) \\ (54) & 公 式 2 : \sin α - \sin β = 2 \cos \frac{α + β}{2} \sin \frac{α - β}{2} \\ (55) \\ (56) & 公 式 3 : \cos α + \cos β = 2 \cos \frac{α + β}{2} \cos \frac{α - β}{2} \\ (57) \\ (58) & 公 式 4 : \cos α - \cos β = - 2 \sin \frac{α + β}{2} \sin \frac{α - β}{2} \end{aligned}

$\begin{align} 公式1: \enspace \sin\alpha+\sin\beta=2\sin\frac{\alpha+\beta}{2}\cos\frac{\alpha-\beta}{2} \\ \\ 公式2: \enspace \sin\alpha-\sin\beta =2\cos\frac{\alpha+\beta}{2}\sin\frac{\alpha-\beta}{2} \\ \\ 公式3: \enspace \cos\alpha+\cos\beta = 2\cos\frac{\alpha+\beta}{2}\cos\frac{\alpha-\beta}{2} \\ \\ 公式4: \enspace \cos\alpha-\cos\beta = -2\sin\frac{\alpha+\beta}{2}\sin\frac{\alpha-\beta}{2} \end{align}$

posted @ 2024-05-09 18:07 Preparing 阅读(53) 评论(0) 编辑收藏举报

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