三角函数之积化和差公式

Invoke: 和差角公式

由和差角公式推衍而得

$$\begin{align} 序0: \enspace \sin (\alpha+\beta)+\sin (\alpha-\beta) \\ \Rightarrow \sin \alpha \cos \beta+\sin \beta \cos \alpha+\sin \alpha \cos \beta-\sin \beta \cos \alpha \\ = 2 \sin \alpha \cos \beta \\ \\ 所得公式1: \quad \sin \alpha \cos \beta=\frac{\sin (\alpha+\beta) + \sin (\alpha-\beta)}{2} \\ \\ \\ 序1: \enspace \sin (\alpha+\beta)-\sin (\alpha-\beta) \\ \Rightarrow \sin \alpha \cos \beta+\sin \beta \cos \alpha-(\sin \alpha \cos \beta-\sin \beta \cos \alpha) \\ =2 \sin \beta \cos \alpha \\ \\ 所得公式2: \enspace \cos \alpha\sin \beta=\frac{\sin (\alpha+\beta)-\sin (\alpha-\beta)}{2} \\ \\ \\ 序2: \enspace \cos (\alpha+\beta)+\cos (\alpha-\beta) \\ \Rightarrow \cos \beta \cos \alpha-\sin \alpha \sin \beta+\cos \beta \cos \alpha+\sin \alpha \sin \beta \\ =2 \cos \alpha \cos \beta \\ \\ 所得公式3: \enspace \cos \alpha\cos \beta =\frac{\cos (\alpha+\beta)+\cos (\alpha-\beta)}{2} \\ \\ \\ 序3: \enspace \cos(\alpha+\beta)-\cos(\alpha-\beta) \\ \Rightarrow\cos\beta\cos\alpha-\sin\alpha\sin\beta-(\cos\beta\cos\alpha+\sin\alpha \sin\beta) \\ =-2\sin\alpha\sin\beta \\ \\ 所得公式4: \enspace \sin\alpha\sin\beta=\frac{\cos(\alpha+\beta)-\cos(\alpha-\beta)}{-2} \end{align}$$

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$$\begin{align} 所得公式1: \quad \sin \alpha \cos \beta=\frac{\sin (\alpha+\beta) + \sin (\alpha-\beta)}{2} \\ \\ 所得公式2: \enspace \cos \alpha\sin \beta=\frac{\sin (\alpha+\beta)-\sin (\alpha-\beta)}{2} \\ \\ 所得公式3: \enspace \cos \alpha\cos \beta =\frac{\cos (\alpha+\beta)+\cos (\alpha-\beta)}{2} \\ \\ 所得公式4: \enspace \sin\alpha\sin\beta=\frac{\cos(\alpha+\beta)-\cos(\alpha-\beta)}{-2} \end{align}$$

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