不定积分
prologue
有时会有这样的需求：已知曲线上某点处切线的斜率，求曲线的方程。
这类问题的特点是已知一个函数的导数或微分，而要求你根据导数或微分获取原来的函数。
面对这类问题需要用到不定积分。
original function
学习不定积分首先要了解“原函数”这个概念。
举个例子： \((x^{2})'=2x\), 所以\(x^{2}\)是 \(2x\) 的原函数。
同理，\(x^{2}+1，x^{2}+C\)(\(C\)为任意一个常数)也均为 \(2x\) 的原函数。
如下所示:
\[(原函)'=新函
\\ \\
\int 新函 dx = 原函+C
\]
一个函数的任意两个原函数之间只相差一个常数。
definition
设函数\(F(x)\)是\(f(x)\)在区间\(I\)上的一个原函数，则称\(F(x)+C(C为任意常数)\)为\(f(x)\)在区间\(I\)上的不定积分，记作：
\[\int f(x)dx, \quad 即: \quad \int f(x)dx=F(x)+C
\]
- \(\int\) : 积分号
- \(f(x)\)： 被积函数
- \(x\)：积分变量
- \(f(x)dx\)：被积表达式
-
把\(f(x)\)的任一原函数\(y=F(x)+C\)的图形，称为\(f(x)\)的一条积分曲线，它们都可由\(y=F(x)\)的图形上下平移得到。
-
求一个函数的不定积分，只需要求出它的一个原函数，用这个原函数加上任意常数即可。
-
要验证一个函数\(A\)是否为另一个函数\(B\)的原函数，只需要将函数\(A\)进行求导，看其结果是否等同于函数\(B\)即可。
illustration 0
\[
\begin{eqnarray}
\int \frac{1}{x}dx=?
\\ \\
当x>0, (\ln{x})'=\frac{1}{x} \\
\therefore \ln{x}是\frac{1}{x}在(0,+\infty)内的1个原函数,因此在(0,+\infty)内:
\\
\int \frac{1}{x} dx=\ln{x}+C
\\ \\
当x<0, [\ln{(-x)}]'=\frac{1}{x} \\
\therefore \ln{(-x)}是\frac{1}{x}在(-\infty,0)内的1个原函数,因此在(-\infty,0)内:
\\
\int \frac{1}{x} dx=\ln{(-x)}+C
\\ \\
综合上述二者: \\
\int \frac{1}{x} dx=\ln{|x|}+C
\end{eqnarray}
\]
illustration 1
\[
\begin{eqnarray}
设曲线通过点(1,2)
\\
且其上任一点处(如x_{0})的切线的斜率等于此点x_{0}横坐标的两倍
\\
求此曲线的方程
\\ \\
设曲线的方程y=f(x), 据题意，f'(x)=2x，所以:
\\ \\
f(x)=\int 2x dx =x^{2}+C
\\ \\
根据曲线通过点(1,2)，得:
\\
f(1)=1+C=2
\\ \\
曲线的方程: \enspace y=x^{2}+1
\end{eqnarray}
\]
