不定积分

prologue

有时会有这样的需求：已知曲线上某点处切线的斜率，求曲线的方程。
这类问题的特点是已知一个函数的导数或微分，而要求你根据导数或微分获取原来的函数。
面对这类问题需要用到不定积分。

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original function

学习不定积分首先要了解“原函数”这个概念。
举个例子： $(x^{2})'=2x$, 所以$x^{2}$是 $2x$ 的原函数。
同理，$x^{2}+1，x^{2}+C$($C$为任意一个常数)也均为 $2x$ 的原函数。

如下所示:

$$(原函)'=新函 \\ \\ \int 新函 dx = 原函+C$$

一个函数的任意两个原函数之间只相差一个常数。

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definition

设函数$F(x)$是$f(x)$在区间$I$上的一个原函数，则称$F(x)+C(C为任意常数)$为$f(x)$在区间$I$上的不定积分，记作：

$$\int f(x)dx, \quad 即: \quad \int f(x)dx=F(x)+C$$

• $\int$ : 积分号
• $f(x)$： 被积函数
• $x$：积分变量
• $f(x)dx$：被积表达式

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• 把$f(x)$的任一原函数$y=F(x)+C$的图形，称为$f(x)$的一条积分曲线，它们都可由$y=F(x)$的图形上下平移得到。

• 求一个函数的不定积分，只需要求出它的一个原函数，用这个原函数加上任意常数即可。

• 要验证一个函数$A$是否为另一个函数$B$的原函数，只需要将函数$A$进行求导，看其结果是否等同于函数$B$即可。

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illustration 0

$$\begin{eqnarray} \int \frac{1}{x}dx=? \\ \\ 当x>0, (\ln{x})'=\frac{1}{x} \\ \therefore \ln{x}是\frac{1}{x}在(0,+\infty)内的1个原函数,因此在(0,+\infty)内: \\ \int \frac{1}{x} dx=\ln{x}+C \\ \\ 当x<0, [\ln{(-x)}]'=\frac{1}{x} \\ \therefore \ln{(-x)}是\frac{1}{x}在(-\infty,0)内的1个原函数,因此在(-\infty,0)内: \\ \int \frac{1}{x} dx=\ln{(-x)}+C \\ \\ 综合上述二者: \\ \int \frac{1}{x} dx=\ln{|x|}+C \end{eqnarray}$$

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illustration 1

$$\begin{eqnarray} 设曲线通过点(1,2) \\ 且其上任一点处(如x_{0})的切线的斜率等于此点x_{0}横坐标的两倍 \\ 求此曲线的方程 \\ \\ 设曲线的方程y=f(x), 据题意，f'(x)=2x，所以: \\ \\ f(x)=\int 2x dx =x^{2}+C \\ \\ 根据曲线通过点(1,2)，得: \\ f(1)=1+C=2 \\ \\ 曲线的方程: \enspace y=x^{2}+1 \end{eqnarray}$$

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