泰勒中值定理(包括麦克劳林公式)
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首先复习1个多项式：
\[P_{n}(x)=f(x_{0})+f'(x_{0})(x-x_{0})+\frac{f''(x_{0})}{2!}(x-x_{0})^{2}+...+\frac{f^{n}(x_{0})}{n!}(x-x_{0})^{n}
\\ \\
(0.0)
\]
如果函数\(f(x)\)在含有 \(x_{0}\) 的某个开区间\((a,b)\)内具有直到 \(n+1\) 阶的导数，则对于任意点\(x, x \in (a,b)\), 有如下:
\[f(x)=f(x_{0})+f'(x_{0})(x-x_{0})+\frac{f''(x_{0})}{2!}(x-x_{0})^{2}+...+\frac{f^{n}(x_{0})}{n!}(x-x_{0})^{n}+R_{n}(x)
\\ \\
(0.1)
\]
其中：
\[R_{n}(x)=\frac{f^{n+1}(\xi)}{(n+1)!}(x-x_{0})^{n+1}, \quad a<\xi<b
\\ \\
(0.2)
\]
多项式(0.0)称为函数\(f(x)\)按 \((x-x_{0})\) 的幂展开的\(n\)阶泰勒多项式，式子(0.1)称为函数\(f(x)\)按 \((x-x_{0})\) 的幂展开的\(n\)阶泰勒公式。
注意，若令\(n=0\) (仅有一项)，则泰勒中值定理会变为：
\[f(x)= f(x_{0})+R_{0}(x_{0}) \Rightarrow f(x_{0})+f'(\xi)(x-x_{0}), \quad a<\xi<b
\]
即拉格朗日中值定理，由此可以看出泰勒中值定理是拉格朗日中值定理的推广。
表达式(0.2)称之为拉格朗日余项。
在不需要拉格朗日余项的精确表达式之时，$ R_{n}(x) $的表达式也可以写成 $ o[(x-x_{0})^{n}] $, 称为佩亚诺(Peano)余项。
当\(x_{0}=0\)时，泰勒公式(0.1)又被称为麦克劳林公式：
\[f(x)=f(0)+f'(0)x+\frac{f''(0)}{2!}x^{2}+...+\frac{f^{n}(0)}{n!}x^{n}+\frac{f^{n+1}(\xi)}{(n+1)!} x^{n+1}
,\quad (0<\xi<x)
\]
或：
\[f(x)=f(0)+f'(0)x+\frac{f''(0)}{2!}x^{2}+...+\frac{f^{n}(0)}{n!}x^{n}+\frac{f^{n+1}(\theta x)}{(n+1)!} x^{n+1}
,\quad (0<\theta<1)
\]
\[
\begin{eqnarray}
当需要精确的余项表达式时，由式(0.2)可知误差:
\\ \\
\lvert R_{n}(x) \rvert=\lvert \frac{f^{(n+1)}(\xi)}{(n+1)!} (x-x_{0})^{n+1} \rvert
\\ \\
当x \to x_{0}时，是比(x-x_{0})^{n}更高阶的无穷小,
\\
若 f^{(n+1)}(x) 在闭区间(a,b)内有界,
\\
即存在常数 M , 使得 f^{(n+1)}(x) \ll M, 则误差估计为:
\\ \\
\lvert R_{n}(x)\rvert \ll \frac{M}{(n+1)!} \lvert(x-x_{0})\rvert ^{n+1}
\\
\end{eqnarray}
\]
praxis 0
\[
\begin{eqnarray}
求f(x)=e^{x}的n阶麦克劳林公式
\\
当x=0时: f(0)=f'(0)=f''(0)=f'''(0)=...=1
\\ \\
\Rightarrow e^{x}=1+x+\frac{x^{2}}{2!}+\frac{x^{3}}{3!}+...+\frac{x^{n}}{n!}+\frac{f^{(n+1)}(\theta x)}{(n+1)!},
\\
0<\theta<1
\\ \\
化简余项: \enspace f^{(n+1)}(e^{x})=e^{x}
\\ \\
余项可为: \enspace \frac{f^{(n+1)}(e^{\theta x})}{(n+1)!} x^{n+1}, \enspace 0<\theta<1
\\ \\
\Rightarrow e^{x}=1+x+\frac{x^{2}}{2!}+\frac{x^{3}}{3!}+...+\frac{x^{n}}{n!}+\frac{f^{(n+1)}(e^{\theta x})}{(n+1)!}x^{n+1},
\\ 0<\theta<1
\end{eqnarray}
\]
praxis 1
求\(f(x)=\frac{1}{1+x}\)的\(n\)阶麦克劳林公式
\[\begin{array}{l}
设(1+x)=u, \quad
f(x)=\frac{1}{1+x}=\frac{1}{u}=u^{-1}
\\ \\
1阶导:\enspace f^{\prime}(x)=\left(u^{-1}\right)^{\prime}=-u^{-1-1}
=-u^{-2}=-\frac{1}{u^{2}}=-\frac{1}{(1+x)^{2}}
\\ \\
2阶导:\enspace f^{\prime \prime}(x)=\left[-\frac{1}{(1+x)^{2}}\right]^{\prime}=\left(-u^{-2}\right)^{\prime}=2 u^{-3}=\frac{2}{(1+x)^{3}}
\\ \\
3阶导:\enspace f^{\prime \prime \prime}(x)=\left[\frac{2}{(1+x)^{3}}\right]^{\prime}=\frac{-6}{(1+x)^{4}}
\\ \\
n阶导通项式: \quad f^{(n)}(x)=(-1)^{n} \frac{n!}{(1+x)^{n+1}}
\\ \\
麦克劳林展开: \quad f(0)=1,
\\
f^{\prime}(0) x=-x,
\\
\frac{f^{\prime \prime}(0)}{2!} x^{2}=x^{2},
\\ \\
\frac{f^{\prime \prime \prime}(0)}{3!} x^{3}=\frac{-6}{3!} x^{3}=-x^{3},
\\ \\
\frac{f^{(n)}(0)}{n!} x^{n}=(-1)^{n} \times \frac{n!}{n!} x^{n}=(-1)^{n} x^{n}
\\ \\
第n+1阶导: \quad f^{(n+1)}(x)=(-1)^{n+1} \frac{(n+1)!}{(1+x)^{n+1}}
\\ \\
拉格朗日余项: \enspace \frac{f^{(n+1)}(\theta x)}{(n+1)!} x^{n+1}=\frac{(-1)^{n+1} \frac{(n+1)!}{(1+\theta x)^{n+1}}}{(n+1)!} \cdot x^{n+1}
\\ \\
(-1)^{n+1} \frac{(n+1)!}{(1+\theta x)^{n+1}} \cdot \frac{1}{(n+1)!} \cdot x^{n+1}
\\ \\
余项为: \enspace \frac{(-1)^{n+1}}{(1+\theta x)^{n+1}} \cdot x^{n+1}
\\ \\
最终结果为: \\
1-x+x^{2}-x^{3}+\ldots+(-1)^{n} x^{n}+
\frac{(-1)^{n+1}}{(1+\theta x)^{n+1}} x^{n+1}, \quad(0<\theta<1)
\end{array}
\]
