泰勒中值定理(包括麦克劳林公式)

Prologue

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  • 拉格朗日中值定理: https://www.cnblogs.com/Preparing/p/18161184

  • 泰勒公式： https://www.cnblogs.com/Preparing/p/17066010.html

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Content

首先复习1个多项式：

$$P_{n}(x)=f(x_{0})+f'(x_{0})(x-x_{0})+\frac{f''(x_{0})}{2!}(x-x_{0})^{2}+...+\frac{f^{n}(x_{0})}{n!}(x-x_{0})^{n} \\ \\ (0.0)$$

如果函数$f(x)$在含有 $x_{0}$ 的某个开区间$(a,b)$内具有直到 $n+1$ 阶的导数，则对于任意点$x, x \in (a,b)$, 有如下:

$$f(x)=f(x_{0})+f'(x_{0})(x-x_{0})+\frac{f''(x_{0})}{2!}(x-x_{0})^{2}+...+\frac{f^{n}(x_{0})}{n!}(x-x_{0})^{n}+R_{n}(x) \\ \\ (0.1)$$

其中：

$$R_{n}(x)=\frac{f^{n+1}(\xi)}{(n+1)!}(x-x_{0})^{n+1}, \quad a<\xi<b \\ \\ (0.2)$$

多项式(0.0)称为函数$f(x)$按 $(x-x_{0})$ 的幂展开的$n$阶泰勒多项式，式子(0.1)称为函数$f(x)$按 $(x-x_{0})$ 的幂展开的$n$阶泰勒公式。

注意，若令$n=0$ (仅有一项)，则泰勒中值定理会变为：

$$f(x)= f(x_{0})+R_{0}(x_{0}) \Rightarrow f(x_{0})+f'(\xi)(x-x_{0}), \quad a<\xi<b$$

即拉格朗日中值定理，由此可以看出泰勒中值定理是拉格朗日中值定理的推广。

表达式(0.2)称之为拉格朗日余项。

在不需要拉格朗日余项的精确表达式之时，$R_{n}(x)$的表达式也可以写成 $o[(x-x_{0})^{n}]$, 称为佩亚诺(Peano)余项。

当$x_{0}=0$时，泰勒公式(0.1)又被称为麦克劳林公式：

$$f(x)=f(0)+f'(0)x+\frac{f''(0)}{2!}x^{2}+...+\frac{f^{n}(0)}{n!}x^{n}+\frac{f^{n+1}(\xi)}{(n+1)!} x^{n+1} ,\quad (0<\xi<x)$$

或：

$$f(x)=f(0)+f'(0)x+\frac{f''(0)}{2!}x^{2}+...+\frac{f^{n}(0)}{n!}x^{n}+\frac{f^{n+1}(\theta x)}{(n+1)!} x^{n+1} ,\quad (0<\theta<1)$$

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$$\begin{eqnarray} 当需要精确的余项表达式时，由式(0.2)可知误差: \\ \\ \lvert R_{n}(x) \rvert=\lvert \frac{f^{(n+1)}(\xi)}{(n+1)!} (x-x_{0})^{n+1} \rvert \\ \\ 当x \to x_{0}时，是比(x-x_{0})^{n}更高阶的无穷小, \\ 若 f^{(n+1)}(x) 在闭区间(a,b)内有界, \\ 即存在常数 M , 使得 f^{(n+1)}(x) \ll M, 则误差估计为: \\ \\ \lvert R_{n}(x)\rvert \ll \frac{M}{(n+1)!} \lvert(x-x_{0})\rvert ^{n+1} \\ \end{eqnarray}$$

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praxis 0

$$\begin{eqnarray} 求f(x)=e^{x}的n阶麦克劳林公式 \\ 当x=0时: f(0)=f'(0)=f''(0)=f'''(0)=...=1 \\ \\ \Rightarrow e^{x}=1+x+\frac{x^{2}}{2!}+\frac{x^{3}}{3!}+...+\frac{x^{n}}{n!}+\frac{f^{(n+1)}(\theta x)}{(n+1)!}, \\ 0<\theta<1 \\ \\ 化简余项: \enspace f^{(n+1)}(e^{x})=e^{x} \\ \\ 余项可为: \enspace \frac{f^{(n+1)}(e^{\theta x})}{(n+1)!} x^{n+1}, \enspace 0<\theta<1 \\ \\ \Rightarrow e^{x}=1+x+\frac{x^{2}}{2!}+\frac{x^{3}}{3!}+...+\frac{x^{n}}{n!}+\frac{f^{(n+1)}(e^{\theta x})}{(n+1)!}x^{n+1}, \\ 0<\theta<1 \end{eqnarray}$$

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praxis 1

求$f(x)=\frac{1}{1+x}$的$n$阶麦克劳林公式

$$\begin{array}{l} 设(1+x)=u, \quad f(x)=\frac{1}{1+x}=\frac{1}{u}=u^{-1} \\ \\ 1阶导:\enspace f^{\prime}(x)=\left(u^{-1}\right)^{\prime}=-u^{-1-1} =-u^{-2}=-\frac{1}{u^{2}}=-\frac{1}{(1+x)^{2}} \\ \\ 2阶导:\enspace f^{\prime \prime}(x)=\left[-\frac{1}{(1+x)^{2}}\right]^{\prime}=\left(-u^{-2}\right)^{\prime}=2 u^{-3}=\frac{2}{(1+x)^{3}} \\ \\ 3阶导:\enspace f^{\prime \prime \prime}(x)=\left[\frac{2}{(1+x)^{3}}\right]^{\prime}=\frac{-6}{(1+x)^{4}} \\ \\ n阶导通项式: \quad f^{(n)}(x)=(-1)^{n} \frac{n!}{(1+x)^{n+1}} \\ \\ 麦克劳林展开: \quad f(0)=1, \\ f^{\prime}(0) x=-x, \\ \frac{f^{\prime \prime}(0)}{2!} x^{2}=x^{2}, \\ \\ \frac{f^{\prime \prime \prime}(0)}{3!} x^{3}=\frac{-6}{3!} x^{3}=-x^{3}, \\ \\ \frac{f^{(n)}(0)}{n!} x^{n}=(-1)^{n} \times \frac{n!}{n!} x^{n}=(-1)^{n} x^{n} \\ \\ 第n+1阶导: \quad f^{(n+1)}(x)=(-1)^{n+1} \frac{(n+1)!}{(1+x)^{n+1}} \\ \\ 拉格朗日余项: \enspace \frac{f^{(n+1)}(\theta x)}{(n+1)!} x^{n+1}=\frac{(-1)^{n+1} \frac{(n+1)!}{(1+\theta x)^{n+1}}}{(n+1)!} \cdot x^{n+1} \\ \\ (-1)^{n+1} \frac{(n+1)!}{(1+\theta x)^{n+1}} \cdot \frac{1}{(n+1)!} \cdot x^{n+1} \\ \\ 余项为: \enspace \frac{(-1)^{n+1}}{(1+\theta x)^{n+1}} \cdot x^{n+1} \\ \\ 最终结果为: \\ 1-x+x^{2}-x^{3}+\ldots+(-1)^{n} x^{n}+ \frac{(-1)^{n+1}}{(1+\theta x)^{n+1}} x^{n+1}, \quad(0<\theta<1) \end{array}$$