拉格朗日(Lagrange)中值定理

preamble

• 罗尔中值定理是理解拉格朗日中值定理的基础

• 罗尔中值定理是拉格朗日中值定理的1个特殊情况

• 泰勒中值定理是拉格朗日中值定理的推广

• Cite:

  • 罗尔定理: https://www.cnblogs.com/Preparing/p/18156702

  • 泰勒中值定理: https://www.cnblogs.com/Preparing/p/18164540

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definition

若函数$f(x)$满足下列条件：

• $f(x)$ 在闭区间$[a,b]$上连续
• $f(x)$ 在闭区间$(a,b)$上可导

则在$(a,b)$内至少存在一点 $\xi$ , 使得$f'(\xi)=\frac{f(b)-f(a)}{b-a}$

等价形式： $f(b)-f(a)=f'(\xi)(b-a)$, $a< \xi <b$

几何意义：
在满足定理条件的曲线$y=f(x)$上至少存在一点$P(\enspace \xi,\enspace f(\xi)\enspace)$，经过该点处的切线平行于曲线两端端点的连线$AB$

如下图所示：

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attest

证明思路：构造一个原函数，以及利用罗尔中值定理

$$\begin{align} 证明：f'(\xi)-\frac{f(b)-f(a)}{b-a}=0 \\ \\ 构造原函数: W(x)=f(x)-\frac{f(b)-f(a)}{b-a} x \\ \\ 而W(x)的导数正是：W'(x)=f'(\xi)-\frac{f(b)-f(a)}{b-a} \\ \\ 将a、b两点代入W(x)： \ W(a)=f(a)-\frac{f(b)-f(a)}{b-a} a \\ \\ \frac{f(a)b-f(a)a}{b-a} - \frac{f(b)a-f(a)a}{b-a} = \frac{f(a)b-f(a)a-f(b)a+f(a)a}{b-a} \\ \\ 得：W(a)=\frac{f(a)b-f(b)a}{b-a} \\ \\ W(b)=f(b)-\frac{f(b)-f(a)}{b-a} b \\ \\ \frac{f(b)b-f(b)a}{b-a}-\frac{f(b)b-f(a)b}{b-a} = \frac{f(b)b-f(b)a-f(b)b+f(a)b}{b-a} \\ \\ 得：W(b)=\frac{f(a)b-f(b)a}{b-a} \\ \\ \therefore W(a)=W(b) \\ 且W(x)满足罗尔中值定理中的对于在开闭区间内连续与可导的两条条件 \\ 故存在 \xi \in (a,b) \\ 便可以据罗尔中值定理推出: W'(\xi)=0 \\ \\ \because W'(\xi)=f'(\xi)-\frac{f(b)-f(a)}{b-a}=0 \\ \\ \therefore f'(\xi)=\frac{f(b)-f(a)}{b-a} \\ \\ 证明成立 \end{align}$$