奇偶函数

Q:

函数\(y=x^{3}+x^{2}+x\)的偶函数是？

A:

• 偶函数定义：对于定义在实数集上的函数 \(f(x)\)，如果对于任意实数 \(x\)，都有 \(f(-x)=f(x)\)，那么称 \(f(x)\) 为偶函数(Even function)

• 奇函数: 对于一个定义域关于原点对称的函数 \(f（x）\) 的定义域内任意一个\(x\)，都有\(f（-x）= - f（x）\)，那么函数\(f（x）\)就叫做奇函数(Odd function)

现在，判断 \(y=f(x)=x^3+x^2+x\) 是否为偶函数。

对于任意实数 \(x\)，有：

\[f(−x)=(−x)^{3}+(−x)^{2}+(−x)=−(x3+x2+x)=−f(x)f(−x)=(−x)^{3}+(−x)^{2}+(−x)=−(x3+x2+x)=−f(x) \]

因此，\(f(x)\) 满足 \(f(-x)=f(x)\)，即 \(f(x)\) 是偶函数。

因此，函数 \(y=f(x)=x^3+x^2+x\) 是偶函数。

如果一个函数\(f(x)\)满足\(f(x)=f(-x)\)，那么它就是一个偶函数。在这种情况下，\(f(x)\)可以是它自己的偶函数。因为当\(x\)取负数时，\(f(-x)\)会等于\(f(x)\)，所以这个函数在关于原点对称的情况下保持不变。

总结

一个函数如果同时是奇函数和偶函数，那么它必须满足对于任何\(x\)都有\(f(x) = f(-x)\)和\(f(x) = -f(-x)\)，这说明函数的值既对自己关于\(y\)轴对称，又对自己关于原点对称。只有恒等于零的函数才能同时满足这两个条件，因此只有恒等于零的函数可以同时是偶函数和奇函数。对于其他函数来说，它们只可能是偶函数或奇函数，或者既不是偶函数也不是奇函数。