通过微分求近似值
Definition
计算 \(\Delta y\) 和函数在 \(x=x_{0}\) 处附近一点 \(x=x_{1}\) 函数值的近似值
设函数 \(y=f(x)\) 在点\(x_{0}\)处可微分,且\(f'(x_{0}) \ne 0,\) 由微分之定义, 当 \(\left| \Delta x \right|\) 极小时，有:
\(\Delta y =f(x_{0}+\Delta x)-f(x_{0}) \approx f'(x_{0}) \Delta x\)
可表示为:
-
\(f(x_{0}+\Delta x)\approx f(x_{0}) +f'(x_{0}) \cdot \Delta x\)
- ps: \(f(x_{0}+\Delta x)=\Delta y\)
-
\(f(x_{1})\approx f(x_{0})+f'(x_{0})(x_{1}-x_{0})\)
- ps: \(x_{1}=x+\Delta x\)
Instance 0
\[\begin{eqnarray}
求 \sqrt[]{120} 之近似值
\\ \\
\sqrt[]{120}=\sqrt[]{121-1}=(121-1)^{\frac{1}{2}}
=[(11)^{2}-1]^{\frac{1}{2}}
\\
\quad \sqrt[]{120}=11(1-\frac{1}{11^{2}})^{\frac{1}{2}}
\\ \\
设f(x) \approx \sqrt[]{1+x}, \quad x_{0}=0, x_{1}=-\frac{1}{11^{2}}
\\
题意即为: \enspace 求 f(x) 在 x_{0} 处附近一点 x_{1} 之近似值
\\ \\
由公式得: \enspace f(-\frac{1}{11^{2}}) \approx f(0)+f'(0)\cdot (-\frac{1}{11^{2}}-0)
\\ \\
设1+x=k,\quad
f'(x)=(\sqrt[]{1+x})'=(k)'\cdot (\sqrt[]{k})'
\\ \\
(k)'=(1)'+(x)'=0+1=1
\\ \\
由公式: \quad (\sqrt[]{k})' =\frac{1}{2\sqrt[]{k}} =\frac{1}{2\sqrt[]{1+x}}
\\ \\
代入 x_{0}=0, \quad \therefore f'(0)=\frac{1}{2}
\\ \\
\therefore f(-\frac{1}{11^{2}}) \approx 1+\frac{1}{2} \cdot -\frac{1}{11^{2}}=\frac{241}{242}
\\ \\
\because \sqrt[]{120} \approx 11\cdot f(x_{1})
\\ \\
\therefore \sqrt[]{120} \approx 11\cdot \frac{241}{242}
\\ \\
\sqrt[]{120} \approx \frac{241}{22}
\end{eqnarray}
\]
