通过微分求近似值

Definition

计算 $\Delta y$ 和函数在 $x=x_{0}$ 处附近一点 $x=x_{1}$ 函数值的近似值

设函数 $y=f(x)$ 在点$x_{0}$处可微分,且$f'(x_{0}) \ne 0,$ 由微分之定义, 当 $\left| \Delta x \right|$ 极小时，有:

$\Delta y =f(x_{0}+\Delta x)-f(x_{0}) \approx f'(x_{0}) \Delta x$

可表示为:

• $f(x_{0}+\Delta x)\approx f(x_{0}) +f'(x_{0}) \cdot \Delta x$

  • ps: $f(x_{0}+\Delta x)=\Delta y$

• $f(x_{1})\approx f(x_{0})+f'(x_{0})(x_{1}-x_{0})$

  • ps: $x_{1}=x+\Delta x$

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Instance 0

$$\begin{eqnarray} 求 \sqrt[]{120} 之近似值 \\ \\ \sqrt[]{120}=\sqrt[]{121-1}=(121-1)^{\frac{1}{2}} =[(11)^{2}-1]^{\frac{1}{2}} \\ \quad \sqrt[]{120}=11(1-\frac{1}{11^{2}})^{\frac{1}{2}} \\ \\ 设f(x) \approx \sqrt[]{1+x}, \quad x_{0}=0, x_{1}=-\frac{1}{11^{2}} \\ 题意即为: \enspace 求 f(x) 在 x_{0} 处附近一点 x_{1} 之近似值 \\ \\ 由公式得: \enspace f(-\frac{1}{11^{2}}) \approx f(0)+f'(0)\cdot (-\frac{1}{11^{2}}-0) \\ \\ 设1+x=k,\quad f'(x)=(\sqrt[]{1+x})'=(k)'\cdot (\sqrt[]{k})' \\ \\ (k)'=(1)'+(x)'=0+1=1 \\ \\ 由公式: \quad (\sqrt[]{k})' =\frac{1}{2\sqrt[]{k}} =\frac{1}{2\sqrt[]{1+x}} \\ \\ 代入 x_{0}=0, \quad \therefore f'(0)=\frac{1}{2} \\ \\ \therefore f(-\frac{1}{11^{2}}) \approx 1+\frac{1}{2} \cdot -\frac{1}{11^{2}}=\frac{241}{242} \\ \\ \because \sqrt[]{120} \approx 11\cdot f(x_{1}) \\ \\ \therefore \sqrt[]{120} \approx 11\cdot \frac{241}{242} \\ \\ \sqrt[]{120} \approx \frac{241}{22} \end{eqnarray}$$

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