无穷小之笔记

Definition

• 若$$ \lim_{x \to x_{0}} f(x)=0$$ 则称 \(f(x) 是 x \to x_{0}\) 的无穷小

• 负无穷大: \(-\infty\), 正无穷大: \(+\infty\)

• 无穷大: \(\infty\) , 无穷小: \(o\)

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注意

• 无穷小不是负无穷

• 负无穷是指小于0的所有数字,没有极限.

• 而无穷小量是指以0为极限的变量,无限接近于0. 变量可以从正方向接近0,也可以从负方向接近0.

• 不过,无穷大却包括正负无穷大,无穷大指的是数字绝对值的无限增大,这就包含了\(\pm \infty\).

• 高阶无穷小与低阶无穷小的区别

  • 高阶无穷小相比于低阶无穷小,高阶无穷小趋近于零的速度更快

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对比

在同一变化过程中的两个无穷小,虽然皆为趋于零,但它们趋于零之快慢速度有时却不一样,甚至差别极大.
实际问题中,有时需要专门讨论这种趋于零的快慢:

$ 设\alpha和\beta为同一变化过程中的无穷小,\lim_{} \frac{\beta}{\alpha}为此一过程中的极限,则: $

• \(若\lim_{} \frac{\beta}{\alpha}=0,则称\beta是比\alpha更高阶的无穷小,记作\beta=o(\alpha)\)

• \(若\lim_{} \frac{\beta}{\alpha}=\infty , 则称\beta是比\alpha更低阶的无穷小\)

• \(若\lim_{} \frac{\beta}{\alpha}=c\ne 0, 则称\beta和\alpha为同阶无穷小\)

• \(若\lim_{} \frac{\beta}{\alpha}=1, 则称\beta和\alpha为等价无穷小, 记作\beta \sim \alpha\)

• \(若\lim_{} \frac{\beta}{\alpha^{k}}=c\ne 0 (k > 0), 则称\beta是关于\alpha的k阶无穷小\)

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运算法则

• 无穷小四则运算:

加减法中, 低阶吸收同化高阶
如: 高阶无穷小 \(\pm\) 低阶无穷小=低阶无穷小

乘除正常运算

• 无穷大四则运算:

加减法中, 高阶吸收同化低阶

如: 高阶无穷大 \(\pm\) 低阶无穷大=高阶无穷大

乘除正常运算

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