绪
已知圆柱体(cylinder)的底面积: $ S=πr^{2} $, 而圆柱体的体积(volume): $ V=S \cdot h=πr^{2} \cdot h $ .
问: 圆柱体的体积,随圆柱体底面积变化而变化的速率快,还是随高度变化而变化的速率快?
了解到微分的概念之后,便可以对两种变化趋势做量化分析对比,由此可以根据控制变量法设计两个实验:
首先存在一个圆柱体C,高度为h,底面圆半径为r.
实验一: \(h\) 不变, \(r\) 增长一个极其微小之量\(d\), 算出 \(C\).volume 增加多少.
实验二: \(r\) 不变, \(h\) 增长一个极其微小之量\(d\), 算出 \(C\).volume 增加多少.
随后, 利用微分求出两个实验各自的体积增量通式,然后分别代入一些具体的数值, 分析C.volume随 r 变化而变化的速率与C.volume随 h 变化而变化的速率的对比.
实验设计
实验一
\[V_{1}-V=dV_{1}
\]
\[V_{1}=h(r+dr)^{2}\pi
\]
\[V=hr^{2}\pi
\]
\[\\ \\
\]
\[\lim_{dr \to 0}dV_{1}=\lim_{dr \to 0} h(r+dr)^{2}\pi- hr^{2}\pi
\]
\[\Rightarrow h[r^{2}+2r\cdot dr+(dr)^{2}]\pi -hr^{2}\pi
\]
\[hr^{2}\pi+2\pi hr \cdot dr+\pi h(dr)^{2}-hr^{2}\pi
\]
\[=2\pi hr \cdot dr+\pi h(dr)^{2}
\]
\[=\lim_{dr \to 0}\pi h[2r\cdot dr + (dr)^{2}]
\]
\[\because 2r\cdot dr是低阶无穷小,(dr)^{2}是高阶无穷小
\]
\[\therefore \lim_{dr \to 0} \pi h[2r\cdot dr + (dr)^{2}]=2r\pi h\cdot dr
\]
\[dV_{1}=2r\pi h\cdot dr
\]
\[\\ \\
\]
\[\frac{dV_{1}}{dr}=2r\pi h,代表了r变化时,V的变化率.
\]
实验二
\[V_{2}-V=dV_{2}\\
V_{2}=\pi r^{2} (h+dh)\\
V=\pi r^{2}h \]
\[\\ \\
\]
\[\lim_{dh \to 0}dV_{2}=\lim_{dh \to 0} \pi r^{2} (h+dh)- \pi r^{2}h
\\
\pi r^{2}h+\pi r^{2}\cdot dh-\pi r^{2}h=\pi r^{2}\cdot dh \]
\[\\ \\
\]
\[\therefore dV_{2}=\pi r^{2}\cdot dh
\]
\[\\ \\
\]
\[\frac{dV_{2}}{dh}=r^{2}\pi,代表h变化时,V的变化率.
\]
应用分析
微分可以应用到一些工业储存容器的设计制造中,例如用以储油的油桶及油罐.
比如一个高10米,底面圆半径5米的圆柱形油罐.现在对它有一个体积扩容的需求,问是增加高度更高效,还是增大底面积更有效率?
由上已经得到了$ \frac{dV_{1}}{dr}=2\pi rh 和 \frac{dV_{2}}{dh}=r^{2}\pi $ . 将上述问题代入两个式子中:
\[\frac{dV_{1}}{dr} = 100 \pi \]
\[\\ \\
\]
\[\frac{dV_{2}}{dh}=25 \pi
\]
通过对比明显发现,在两个方向同样增加一个相同量的情况下,由增大底面积而获得的容积增量更大.
但如果是高1米,底面圆半径5米的油罐:
\[\frac{dV_{1}}{dr} = 10 \pi \]
\[\\ \\
\]
\[\frac{dV_{2}}{dh}=25 \pi
\]
此时反而是容积随高度变化而变化的速率更快.
进而得出结论: 如果一个圆柱体的高度远大于底面圆半径,通过增高而获得的体积增幅,不如增大底面圆半径而获得的体积增幅明显.
反之,若圆柱体的底面圆半径远大于高度,通过增高而获得的体积增幅,比增大底面圆半径而获得的体积增幅更加明显.
