微分

briefly

\[\begin{eqnarray} 已知函数F(x)\\ 其导数: \quad [F(x)]'=f(x) \\ 转为微分形式: \enspace dF(x)=f(x)dx \end{eqnarray} \]

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explain

• 微分之作用: 通过微分可以描述,当函数自变量的取值发生了足够小的改变时,函数的值是怎样改变的.

• 微分与导数的关系非常密切, 函数在某一点可微分的充分必要条件为: 函数在这一点可导.

• 一元微分学中,可导与可微是等价的概念.
  • 可导: 意味着函数在点\(x_{0}\)处的切线的斜率存在.
  • 可微: 意味着函数在点\(x_{0}\)处存在切线.

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与导数关系

于此探究导数与微分之间存在的某种内在联系.
微分\(dy=A\Delta x\) 是 \(\Delta x\) 的线性函数.
首先是问常数 \(A=?\)

设函数 \(y=f(x)\) 在某一区间内有定义, \(x_{0}\) 及 \(x_{0}+\Delta x\) 在该区间内,若函数的增量:

\[\Delta y=f(x_{0}+\Delta x)-f(x_{0}) \]

以上可表示为 $$\Delta y= A\Delta x+ o(\Delta x)$$

所以 $$f(x_{0}+\Delta x)-f(x_{0})=A\Delta x+ o(\Delta x)$$

两边同时除以\(\Delta x\): $$\frac{f(x_{0}+\Delta x)-f(x_{0})}{\Delta x}=A+\frac{o(\Delta x)}{\Delta x}$$

引入极限: $$\lim_{\Delta x \to 0}\frac{f(x_{0}+\Delta x)-f(x_{0})}{\Delta x}=\lim_{\Delta x \to 0}A+\frac{o(\Delta x)}{\Delta x}$$

\[\\ \Rightarrow f'(x_{0})=\lim_{\Delta x \to 0} A+ \lim_{\Delta x \to 0}\frac{o(\Delta x)}{\Delta x} \]

\[\\ \\ \]

\[\because \lim_{\Delta x \to 0}\frac{o(\Delta x)}{\Delta x} 是高阶无穷小除以低阶无穷小的极限 \]

\[\\ \\ \]

\[\therefore f'(x_{0})=\lim_{\Delta x \to 0} A+ 0 \]

\[\\ \\ \]

\[f'(x_{0})= A \]

由此得 \((y_{1}-y_{0})=f'(x_{0})(x_{1}-x_{0})\)的意义: 代表函数\(y=f(x)\)在点\(x_{0}\)处形成切线, \((y_{1}-y_{0})=f'(x_{0})(x_{1}-x_{0})\) 可视为1个切线方程.
\((x_{1}-x_{0})\)即对应 \(o(\Delta x), o(\Delta x)\)代表了 \(y=f(x)\) 的极其微小之增量.

由 \(A \Delta x\) 观之, 通常把自变量的增量 \(\Delta x\) 谓之为自变量的微分, 即 $\Delta x=dx $.

所以, 函数在点\(x_{0}\)处的微分亦可记为: $$ dy=f'(x_{0})dx $$

因此函数在点\(x_{0}\)处的导数可表示为: 函数的微分与自变量的微分的商 .
即: $$ \frac{dy}{dx}=f'(x_{0}) $$
所以导数亦谓之为微商

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微分的几何意义

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$ 如上图所示,设 MQ 为曲线 y=f(x) 在点M[x_{0},f(x_{0})]处的切线,由导数之几何定义: $

\[\frac{dy}{dx}= f'(x_{0})=\tan\alpha \]

$ 其中 \alpha 为切线 MQ 与 x 轴之夹角,自变量x_{0}有1个增量\Delta x=MP, 则: $

\[dy=f'(x_{0})\Delta x=\tan\alpha \cdot MP=PQ \]

$ 这个式子说明,当自变量从x_{0}增至x_{0}+\Delta x时,曲线y=f(x)在点M [x_{0},f(x_{0})] 处起始的切线之纵坐标增量 \Delta y 即为曲线在点 x_{0} 处的微分. $

$ 换言之,在微小的局部范围内,曲线弧段MN可以被切线段MQ近似代替,谓之“以直代曲”. $