为何隐函数求导可以使用链式法则
设$ y=x^{x},\quad y'(x)=? $
\[\\ \\
\]
利用对数求导法得: \(\ln{y}=x\ln{x}\)
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\]
$\ln{y}=x\ln{x} $或 $\ln{y}-x\ln{x}=0 $ 就成为了一个隐函数.
\[\\ \\
\]
在此把 \(y\) 当作是 \(x\) 的函数
\[\\ \\
\]
\(x\) 一侧转变为以往因变量的地位,相当于链式法则(ChainRule):
$ \frac{d}{dx}=\frac{d}{dy}\cdot \frac {dy}{dx}$ 中的 $\frac{d}{dx} $
那么$ \ln{y}=\frac{d}{dy}\cdot \frac{dy}{dx},\quad \ln{y} $是复合(Composite)函数
\[\begin{align}
设\ln{y}=u , 则 u(y)=\ln{y}, y=(y)
\\ \\
\Rightarrow (u)'\cdot (y)'=(x\ln{x})'
\\ \\
(\ln{y})'\cdot (y)'=[(x)(\ln{x})]'
\\ \\
\frac{d(\ln{y})}{dy} \cdot \frac{dy}{dx}=\frac{d[(x)(\ln{x})]} {dx}
\\ \\
\frac{dy}{dx}=(1+\ln{x})y
\\ \\
y'=(1+\ln{x})x^{x}
\end{align}
\]
\[\\ \\
\]
对两边进行同时求导的逻辑成立
