隐函数求导训练题
First
已知y=f(x)
则y2=f(x)⋅f(x)则y2为包含f(x)的复合函数(y2)′=[f2(x)]′⋅f′(x)
∴(y2)′=2y⋅y′
Second
对数求导法:先取对数,再求导数
若y=x1x,求y′(x)即dydx=?
y=x1x⇒lny=1xlnx
将y视作x的函数,对两边求导:
(lny)′=(lnxx)′
隐函数求导之术与复合函数求导之术通用.则根据链式法则: ddx=ddy⋅dydx
⇒d(lny)dx⋅dydx=d(lnxx)dx
1y⋅dydx=lnx′x−x′lnxx2
∵(x)′=(x1)′=1
∴dydx=1−lnxx2⋅y
dydx=1−lnxx2⋅x1x
dydx=x−2⋅x1x⋅(1−lnx)
dydx=x1x−2(1−lnx)
∴y′(x)=x1x−2(1−lnx)
Second
x4+y5+y3−1=0,求y′(x)即dydx
y5+y3=1−x4
将y看成x的函数,同时对两侧求导: (y5+y3)′=(1−x4)′
根据链式法则得:
d(y5+y3)dx⋅dydx=d(1−x4)dx
(5y4+3y2)⋅dydx=−4x3
dydx=−4x35y4+3y2
∴y′(x)=−4x35y4+3y2
Third
exy=sin(x+y),dydx=?
设xy=k,x+y=u
(ek)′=(sinu)′
because they both are composite function, therefore:
(ek)′⋅(k)′=(sinu)′⋅(u)′
(ek)′(k)′⇒ek[(x)(y)]′=ek[x′y+y′x]=ek(y+xdydx)
(sinu)′(u)′=cos(x+y)(1+dydx)
⇒exy(y+xdydx)=cos(x+y)(1+dydx)
exyy+exyxdydx=cos(x+y)+dydxcos(x+y)
exyxdydx−dydxcos(x+y)=cos(x+y)−exyy
dydx[exyx−cos(x+y)]=cos(x+y)−exyy
dydx=cos(x+y)−exyyexyx−cos(x+y)
∴y′(x)=cos(x+y)−exyyexyx−cos(x+y)
Fourth
隐函数求导:x2−y2−4xy=02边同时求导:(x2)′−(y2)′−(4xy)′=0
(x2)′=2x(y2)′=(y2)′⋅y′=2yy′(4xy)′=(4x)′y+4x(y)′=4y+4xy′
2x−2yy′−4y−4xy′=0−2yy′−4xy′=−2x+4yy′(−2y−4x)=−2x+4y
y′=−2x+4y−2y−4x
y′=−2(x−2y)−2(y+2x)
y′=x−2y2x+y
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