证明复合函数求导法则

定理

(1)():(2)μ=ψ(x)x,y=f(μ)μ=ψ(x),(3)y=f[ψ(x)]x,:y(x)=f(μ)ψ(x)(4):dydx=dydμdμdx


推导过程

(5):μ=ψ(x),y=f(μ), y=?(6)(7)y=f(μ)=f[ψ(x)], y=f[ψ(x)](8)(9)Δμ=ψ(x+Δx)ψ(x)(10)ψ(x+Δx)=ψ(x)+Δμ=μ+Δμ(11)(12)f[ψ(x)]=limΔx0ΔyΔx=limΔx0f[ψ(x+Δx)]f[ψ(x)]Δx(13)(14)=limΔx0f(μ+Δμ)f(μ)Δx(15)(16):(17)limΔx0f(μ+Δμ)f(μ)[ψ(x+Δx)ψ(x)]Δx[ψ(x+Δx)ψ(x)](18)(19)limΔx0f(μ+Δμ)f(μ)[ψ(x+Δx)ψ(x)]ψ(x+Δx)ψ(x)Δx(20)(21)limΔx0[ψ(x+Δx)ψ(x)]Δx=ψ(x)(22)(23)limΔx0f(μ+Δμ)f(μ)[ψ(x+Δx)ψ(x)]=f(μ+Δμ)f(μ)μ+Δμμ(24)(25)=limΔx0f(μ+Δμ)f(μ)Δμ=f(μ)(26)(27)y=f(μ)ψ(x)

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