证明复合函数求导法则

定理

\begin{aligned} (1) & 复 合 函 数 求 导 法 则 (亦 称 链 式 法 则) : \\ (2) & 设 μ = ψ (x) 在 点 x 处 可 导, y = f (μ) 在 对 应 点 μ = ψ (x) 处 可 导, \\ (3) & 那 么 复 合 函 数 y = f [ψ (x)] 在 点 x 处 可 导, 则 有 : y^{'} (x) = f^{'} (μ) \cdot ψ^{'} (x) \\ (4) & 或 : \frac{d y}{d x} = \frac{d y}{d μ} \cdot \frac{d μ}{d x} \end{aligned}

$\begin{align} 复合函数求导法则(亦称链式法则):\\ 设\mu=\psi(x)在点x处可导,\quad y=f(\mu)在对应点\mu=\psi(x)处可导,\\ 那么复合函数y=f[\psi(x)]在点x处可导,\quad 则有: \quad y'(x)=f'(\mu) \cdot \psi'(x)\\ 或: \quad \frac{dy}{dx}=\frac{dy}{d\mu} \cdot \frac{d\mu}{dx} \end{align}$

推导过程

\begin{aligned} (5) & 即 推 导 : 若 设 μ = ψ (x), y = f (μ), y^{'} = ? \\ (6) \\ (7) & y = f (μ) = f [ψ (x)] 为 复 合 函 数, y^{'} = f^{'} [ψ (x)] \\ (8) \\ (9) & Δ μ = ψ (x + Δ x) - ψ (x) \\ (10) & 则 ψ (x + Δ x) = ψ (x) + Δ μ = μ + Δ μ \\ (11) \\ (12) & f^{'} [ψ (x)] = lim_{Δ x \to 0} \frac{Δ y}{Δ x} = lim_{Δ x \to 0} \frac{f [ψ (x + Δ x)] - f [ψ (x)]}{Δ x} \\ (13) \\ (14) & = lim_{Δ x \to 0} \frac{f (μ + Δ μ) - f (μ)}{Δ x} \\ (15) \\ (16) & 分 子 分 母 同 乘 以 一 个 式 子 : \\ (17) & lim_{Δ x \to 0} \frac{f (μ + Δ μ) - f (μ) \cdot [ψ (x + Δ x) - ψ (x)]}{Δ x \cdot [ψ (x + Δ x) - ψ (x)]} \\ (18) \\ (19) & lim_{Δ x \to 0} \frac{f (μ + Δ μ) - f (μ)}{[ψ (x + Δ x) - ψ (x)]} \cdot \frac{ψ (x + Δ x) - ψ (x)}{Δ x} \\ (20) \\ (21) & lim_{Δ x \to 0} \frac{[ψ (x + Δ x) - ψ (x)]}{Δ x} = ψ^{'} (x) \\ (22) \\ (23) & lim_{Δ x \to 0} \frac{f (μ + Δ μ) - f (μ)}{[ψ (x + Δ x) - ψ (x)]} = \frac{f (μ + Δ μ) - f (μ)}{μ + Δ μ - μ} \\ (24) \\ (25) & = lim_{Δ x \to 0} \frac{f (μ + Δ μ) - f (μ)}{Δ μ} = f^{'} (μ) \\ (26) \\ (27) & ∴ y^{'} = f^{'} (μ) ψ^{'} (x) \end{aligned}

$\begin{align} 即推导: \quad 若设 \mu=\psi(x),y=f(\mu), \ y'=? \\ \\ y=f(\mu)=f[\psi(x)] 为复合函数, \ y'=f'[\psi(x)] \\ \\ \Delta \mu=\psi(x+\Delta x)-\psi(x)\\ 则 \psi(x+\Delta x)= \psi(x)+\Delta \mu=\mu+\Delta \mu \\ \\ f'[\psi(x)]=\lim_{\Delta x \to 0} \frac{\Delta y}{\Delta x} =\lim_{\Delta x \to 0} \frac{f[\psi(x+ \Delta x)] -f[\psi(x)] } { \Delta x } \\ \\ =\lim_{\Delta x \to 0}\frac{ f(\mu+\Delta \mu)-f(\mu)}{\Delta x} \\ \\ 分子分母同乘以一个式子:\\ \lim_{\Delta x \to 0}\frac{ f(\mu+\Delta \mu)-f(\mu) \cdot [\psi(x+\Delta x)-\psi(x)] } {\Delta x \cdot [\psi(x+\Delta x)-\psi(x)]} \\ \\ \lim_{\Delta x \to 0}\frac{ f(\mu+\Delta \mu)-f(\mu) }{[\psi(x+\Delta x)-\psi(x)]} \cdot \frac{ \psi(x+\Delta x)-\psi(x) } {\Delta x} \\ \\ \lim_{\Delta x \to 0} \frac{[\psi(x+\Delta x)-\psi(x)]}{\Delta x}=\psi'(x) \\ \\ \lim_{\Delta x \to 0} \frac{ f(\mu+\Delta \mu)-f(\mu) }{[\psi(x+\Delta x)-\psi(x)]} =\frac{ f(\mu+\Delta \mu)-f(\mu) }{ \mu+\Delta \mu-\mu } \\ \\ =\lim_{\Delta x \to 0} \frac{ f(\mu+\Delta \mu)-f(\mu) }{\Delta \mu}=f'(\mu) \\ \\ \therefore y'=f'(\mu)\psi'(x) \end{align}$