导数乘法和除法公式证明
乘法
证明: \([f(x)g(x)]'=f'(x)g(x)+f(x)g'(x)\)
过程如下:
\[\begin{eqnarray}
设 h(x)=f(x)g(x), 则h'(x)=f'(x)g'(x)
\\ \\
h'(x)=\lim_{\Delta x \to 0} \frac{h(x+\Delta x)-h(x)}{\Delta x}
\\ \\
\Rightarrow \lim_{\Delta x \to 0}
\frac{f(x+\Delta x)g(x+\Delta x)-f(x)g(x)}{\Delta x}
\\ \\
插入式子:[-f(x)g(x+\Delta x)+f(x)g(x+\Delta x)] \\
\Rightarrow \lim_{\Delta x \to 0}
\frac{f(x+\Delta x)g(x+\Delta x)
-f(x)g(x+\Delta x)+f(x)g(x+\Delta x)
-f(x)g(x)}{\Delta x}
\\ \\
\Rightarrow \lim_{\Delta x \to 0}
\frac{g(x+\Delta x)[f(x+\Delta x)-f(x)]+f(x)[g(x+\Delta x)-g(x)]}
{\Delta x}
\\ \\
\lim_{\Delta x \to 0} g(x+\Delta x)
\lim_{\Delta x \to 0} \frac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}
+ \lim_{\Delta x \to 0} f(x)
\lim_{\Delta x \to 0} \frac{g(x+\Delta x)-g(x)}{\Delta x}
\\ \\
\because \lim_{\Delta x \to 0} g(x+\Delta x) = g(x)
\\ \\
得到: g(x)f'(x)+f(x)g'(x)
\\ \\
\therefore h'(x)=g(x)f'(x)+f(x)g'(x)
\\ \\
\because h'(x)=f'(x)g'(x)
\\ \\
\therefore f'(x)g'(x)=f'(x)g(x)+f(x)g'(x)
\end{eqnarray}
\]
除法
证明: \([\frac{f(x)}{g(x)} ]'=\frac { f'(x) g(x) - f(x) g'(x) } { g^{2}(x)}\)
过程如下:
\[\begin{eqnarray}
设h(x)=\frac{f(x)}{g(x)},则h'(x)=\frac{f'(x)}{g'(x)}
\\ \\
\Rightarrow \lim_{\Delta x \to 0} \frac{ \frac{f(x+\Delta x)}{g(x+\Delta x)} - \frac{f(x)}{g(x)} }{\Delta x}
\\ \\
\Rightarrow \lim_{\Delta x \to 0} \frac{1}{\Delta x} [ \frac{f(x+\Delta x)g(x)}{g(x+\Delta x)g(x)}-\frac{g(x+\Delta x)f(x)}{g(x+\Delta x)g(x)}]
\\ \\
\lim_{\Delta x \to 0} \frac{1}{g(x+\Delta x)g(x)} \lim_{\Delta x \to 0} \frac{f(x+\Delta x)g(x)-g(x+\Delta x)f(x)}{\Delta x}
\\ \\
插入式子: -f(x)g(x)+f(x)g(x) \\ \\
\lim_{\Delta x \to 0} \frac{1}{g(x+\Delta x)g(x)} \lim_{\Delta x \to 0} \frac{f(x+\Delta x)g(x)-f(x)g(x)+f(x)g(x)-g(x+\Delta x)f(x)}{\Delta x}
\\ \\
其中: \lim_{\Delta x \to 0} \frac{f(x+\Delta x)g(x)-f(x)g(x)+f(x)g(x)-g(x+\Delta x)f(x)}{\Delta x}
\\ \\
\Rightarrow \lim_{\Delta x \to 0} \frac{f(x+\Delta x)g(x)-f(x)g(x)}{\Delta x} + \lim_{\Delta x \to 0} \frac{f(x)g(x)-g(x+\Delta x)f(x)}{\Delta x}
\\ \\
g(x)\lim_{\Delta x \to 0} \frac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}+[-f(x) \lim_{\Delta x \to 0} \frac{g(x+\Delta x)-g(x)}{\Delta x}]
\\ \\
\Rightarrow f'(x)g(x)-f(x)g'(x)
\\ \\
另外: \lim_{\Delta x \to 0} g(x+\Delta x) = g(x) \\
\therefore \lim_{\Delta x \to 0} \frac{1}{g(x+\Delta x)g(x)}=\frac{1}{g^{2}(x)}
\\ \\
综合: \frac{1}{g^{2}(x)} \cdot [f'(x)g(x)-f(x)g'(x)] = \frac{f'(x)g(x)-f(x)g'(x)}{g^{2}(x)}
\\ \\
\therefore h'(x)=\frac{f'(x)g(x)-f(x)g'(x)}{g^{2}(x)}
\\ \because h'(x)=\frac{f'(x)}{g'(x)}
\\ \\
\therefore \frac{f'(x)}{g'(x)} = \frac{f'(x)g(x)-f(x)g'(x)}{g^{2}(x)}
\end{eqnarray}
\]
