二项式定理归纳

$$二项式定理:(a+b)^{n}=C\binom{0}{n} a^{n}b^{0}+C\binom{1}{n} a^{n-1}b^{1}+C\binom{2}{n} a^{n-2}b^{2} +...+C\binom{r}{n} a^{n-r}b^{r}+...+C\binom{n}{n} a^{0}b^{n}$$

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$$基本概念:\quad 二项式系数为二项式展开式中各项的系数C\binom{r}{n}(r=0,1,2...n)$$

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$$二项式定理的展开式(求和符号表示): (x+y)^{n}=\sum_{k=0}^{n} x^{n-k} y^{k}或 \sum_{k=0}^{n} x^{k} y^{n-k}$$

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$$项数:\quad 共(r+1)项,为关于a与b的齐次多项式$$

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$$通项:展开式中第r+1项为C\binom{r}{n}a^{n-r}b^{r},曰二项式展开式子通项:T_{r+1}=C\binom{r}{n}a^{n-r}b^{r}$$

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$$关键点之顺序:注意正确选择a和b的顺序,它们的顺序不能随意变动.\\(a+b)^{n}与(b+a)^{n}二者间的二项式是不一样的.$$

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$$关键点之指数:\quad a的指数从n逐项减至0,b的指数从0逐项增至n,为升幂排列.各项之次数和等于n.$$

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$$关键点之系数:要正确区分二项式系数与项系数,二项式系数依次为:\\ C\binom{0}{n},C\binom{1}{n},C\binom{2}{n}... C\binom{r}{n}...C\binom{n}{n}; 项系数为a与b的系数(包括二项式系数).$$

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$$(1+x)^{n}=C\binom{0}{n}1^{n-0}x^{0}+C\binom{1}{n}1^{n-1}x^{1}+C\binom{2}{n}1^{n-2}x^{2}+...+ C\binom{r}{n}1^{n-r}x^{r}+...+C\binom{n}{n}1^{0}x^{n} \quad (n\in N^{*})$$

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$$(1-x)^{n}=C\tbinom{0}{n}1^{n-0}(-x)^{0} -C\tbinom {1}{n} 1^{n-1}(-x)^{1} +C\tbinom {2}{n} 1^{n-2}(-x)^{2} +...+C\tbinom {r}{n} 1^{n-r}(-x)^{r} +...+(-1)^{n}C\tbinom{n}{n} x^{n} \quad (n\in N^{*})$$