第一重要极限

第二重要极限证明:https://www.cnblogs.com/Preparing/p/16576649.html

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$$\begin{align} 证明极限\lim_{x\to 0}\frac{\sin{x}}{x}=1 \\ \\ 设∠AOB=x(0<x<\frac{π}{2}) \\ \because △AOB面积 < 扇形AOB面积 < △AOD面积 \\ \Rightarrow \frac{\sin{x}\cdot r\cdot r}{2} < \frac{xπr^{2}}{2π} <\frac{\tan{x}\cdot r\cdot r}{2} \\ \\ 约去\frac{1}{2}和r^{2}: \sin{x} < x < \tan{x} \\ 除以\sin{x}: 1<\frac{x}{\sin{x}}<\frac{\tan{x}}{\sin{x}}\\ =1<\frac{x}{\sin{x}}<\frac{1}{\cos{x}} \\ \\ 将不等式中每个数都变为倒数,原大小关系会变向: \\ 1>\frac{\sin{x}}{x}>\cos{x} \\ \\ \\ \because \cos{x}为偶函数[\cos{x}=\cos (-x)]\\ 而\frac{\sin{x}}{x}=\frac{\sin (-x)}{-x} \\ \therefore 不等式在x \in [-\frac{π}{2}, 0) 照样成立 \\ \\ \therefore \cos{x}<\frac{\sin{x}}{x}<1的定义域:x\in[-\frac{π}{2}, \frac{π}{2}],x\ne0 \\ \\ \because \lim_{x\to 0}\cos{x}=1 \\ \\ 再由迫敛定理,得出: \lim_{x\to 0}\frac{\sin{x}}{x}=1 \end{align}$$