自然对数换底公式证明 $ a^{b}=e^{b \ln{a}} $
\[\begin{align}
证: \ a^{b}=e^{b\ln{a}}
\\ \\
设 a^{b}=x
\\ \\
\log_{a}{x}=b
\\ \\
\log_{a}{x}=\frac{\ln{x}}{\ln{a}}
\\ \\
\ln{x}= \log_{a}{x} \cdot \ln{a}
\\ \\
\because \log_{a}{x}=b
\\ \\
\therefore \ln{x}=b\cdot \ln{a}
\\ \\
\log_{e}{x}=b\cdot \ln{a}
\Rightarrow
x=e^{b\ln{a}}
\\ \\
\therefore a^{b}=e^{b\ln{a}}
\end{align}
\]
