摘要：
Instance 0 \[\begin{align} \int_{-\infty}^{+\infty}\frac{1}{1+x^{2}}dx=? \\ \\ \int_{-\infty}^{+\infty}\frac{1}{1+x^{2}}=\int_{-\infty}^{0}\frac{1}{1+ 阅读全文
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Preamble 在一些实际问题中，常常遇到积分区间为无穷区间，或者被积函数为无界函数的积分 因此需要将定积分的概念加以推广，从而引进无穷限积分和无界函数的积分。 二者统称为反常积分(或广义积分) 无穷限的反常积分 先来考察一个例子 例1 计算由曲线 \(y=\frac1{x^2}\),直线\(x= 阅读全文
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brief 设函数 \(u=u(x)\) 与 \(q=q(x)\) 在 \([a,b]\)上分别具有连续的导数: \(u'(x)\) 与 \(q'(x)\) , 则有分部定积分公式: \[\int_{a}^{b} udq=[uq]_{a}^{b}-\int_{a}^{b} qdu \] instan 阅读全文
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\[\begin{eqnarray} 已知定积分函数: \int_{a}^{b}f(x)dx, \enspace [a,b] \\ \\ b>a \Rightarrow F(b)>F(a) \\ \\ 要求证明: \int_{a}^{b}f(x)dx=-\int_{b}^{a}f(x)dx \\ \ 阅读全文
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brief 若\(f(x)\)在 \([-a,a]\) 上连续且为偶函数，则: \[\int_{-a}^{a}f(x)dx=2\int_{0}^{a}f(x)dx \] 若\(f(x)\)在 \([-a,a]\) 上连续且为奇函数，则: \[\int_{-a}^{a}f(x)dx=0 \] prov 阅读全文
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brief 设函数\(f(x)\)在区间\([a,b]\)上连续变化，函数\(x= \varphi (t)\)在区间\([\alpha,\beta]\)上具有连续的导数 当\(t\)在区间\([\alpha,\beta]\)上变化时，\(x= \varphi (t)\)的值在\([a,b]\)上变化 阅读全文
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first \[\begin{align} \Phi(x)=\int_{0}^{x^{2}} \sin t d t, \enspace \Phi^{\prime}(x)=? \\ \\ 设: u=x^{2} \\ \\ \text { 则: } G(u)=\int_{0}^{u} \sin t d 阅读全文
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积分上限的函数及其导数 设 \(f(x)\) 在区间 \([a,b]\) 上连续，\(x\)为 \([a,b]\) 上任意一点，则\(f(x)\)在 \([a,b]\) 区间也是连续的 因此定积分： \(\int_{a}^{x} f(t)dt\) 存在 (为便于区别，积分变量采用\(t\)) 故对任 阅读全文
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有理函数的分解 有理函数是指两个多项式的商所构成的函数: \( R(x)=\frac{P(x)}{Q(x)}=\frac{a_0x^n+a_1x^{n-1}+\cdotp\cdotp\cdotp+a_{n-1}x+a_n}{b_0x^m+b_1x^{m-1}+\cdotp\cdotp\cdotp+b 阅读全文
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example 0 0.First \[\begin{aligned} \int\frac{1}{\sin x+\cos x}dx=? \\ \\ 设:u=\tan\frac{x}{2}, \enspace x=2\arctan(u) \\ \\ \sin x=\frac{2u}{1+u^{2}}, 阅读全文