第一章

位图数据结构：这个数据结构主要描述了一个有限定义域内的稠密集合，其中的每一个元素最多出现一次，并且没有其他任何数据与该元素相关联。即使这些条件没有完全                            满足(例如，存在重复元素或额外的数据)，也可以用有限定义域内的键作为一个表项更复杂的表格的索引。

例如： 可以用一个20位长的字符串来表示一个所有元素都小于20的简单的非负整数集合。

           可以用如下字符串表示集合{1,2,3,5,8,13}:

                      0  1  1  1  0  1  0  0  1  0  0  0  0  1 0  0  0  0  0  0   代表集合中数值的位都置1，其他所有位都置0.

       若给定表示文件中的整数集合的位图数据结构，则可以分为三个自然阶段来编写程序。第一个阶段将所有的位都置0，从而将集合初始化为空。第二个阶段通过读入文件中的每个整数来建立集合，将每个对应的位都置1,。第三个阶段检验每个位，如果该位为1，就输出对应的整数，由此产生有序的输出文件。

      令n为位向量中的位数，程序的伪代码表示如下：

       /* phase 1: initialize set to empty */ 
          for  i = [0 , n)
              bit[i] = 0
       /*phase 2: insert present elements into the set */
            for each i in the input file 
                 bit[i] = 1
       /* phase : write sorted output */
           for i = [0,n)
                if bit[i] == 1
                  write i on the output file

练习：

1.  自己写的

自己写的

/*************************************************************************
    > File Name: 1.cpp
    > Author: 
    > Mail: 
    > Created Time: 2018年01月07日 星期日 11时21分26秒
 ************************************************************************/

#include<iostream>
#include<stdio.h>
#include<stdlib.h>
#include<algorithm>
using namespace std;

int intcomp(const void *x,const void *y)
{
    return *(int *)x - *(int *)y;
}

int a[1000000];
int main(void)
{
    int i, n = 0;
    while(scanf("%d",&a[n]) != EOF)
      n++;
    qsort(a, n , sizeof(int), intcomp);
    for(i = 0;i < n; i++)
        printf("%d\n",a[i]);
    return 0;
}

/*************************************************************************
    > File Name: 1.cpp
    > Author: 
    > Mail: 
    > Created Time: 2018年01月07日 星期日 11时21分26秒
 ************************************************************************/

#include<iostream>
#include<stdio.h>
#include<stdlib.h>
#include<algorithm>
#include<set>
using namespace std;

int main()
{
    set<int> S;
    int i;
    set<int>:: iterator j;
    while(cin >> i)
       S.insert(i);
    for(j = S.begin(); j != S.end(); i++)
    {
        cout << *j << endl;
    }
    return 0;
}

2.转载自： http://blog.csdn.net/cherish0222/article/details/53044868

                  https://www.cnblogs.com/marsdu/p/3181734.html

这是一道非常基础的题目，考察对位运算的理解，好看题目只觉得好眼熟，然后（手贱）瞟了一眼答案，第一遍没看明白答案的内容，就上网查了一下，网上的人要么就是一笔带过（大概是觉得太简单），要么就是误人子弟。

解决题目之前应该先搞清楚题目是干嘛的：

位向量顾名思义就是用位来存储一个数，文中说存储N=10000000个数，每一位代表一个数。

我们可以定义一个int类型的数组int a[N]，那么如果a[9]的值为1，则表明文件中存在一个值为9。

这样的话，我们就可以用一个数组来表示这么多数。我们又知道，一个int型的数有4个字节，也就是32位，那么我们可以用N/32个int型数来表示这N个数：

a[0]表示第1~32个数（0~31）

a[1]表示第33~64个数（32~63）

…

这样，每当输入一个数字i，我们应该先找到该数字在数组的第几个元素中，也就是a[?]，然后再确定在这个元素的第几位中。

举个例子来说，比如输入35，那么35/32为1余3，则应该将a[1]的第4位置为1。

好，有了上面的概念，可以先来看看题中set是怎么实现的：

void set(int i)
{
    a[i>>SHIFT] |= (1<<(i &MASK));
}

根据题目的要求，我们不可以用/运算符来设计程序，那除的话我们可以用右移来替代：

m>>n，表示m往右移动n位

输入i，除以32相当于往右移动5位，则i>>SHIFT代表i/32得到应该放在数组的第几个元素中，然后要置相应的位置位1了：

先来看看1<<(i&MASK)是什么意思。i&MASK相当于取i右移掉的部分，说白了就是取余数。

比如35的二进制表示是：… 0010 0011

MASK的二进制是0001 1111

两个相与操作得到0 0011

而右移5位，移掉的数是0 0011，换算成10进制是3，正是余数，与上面的操作值相等，都是0 0011。

因此1<<(i&MASK)就变成了1<<3，也就是将1右移3位，变成了1000。

然后在做一个|操作就将a[1]的第4位置1了。

对于clr函数，就是找到位置，然后清零

对于test函数，就是找到位置，做一个与操作，如果存在这个数，则返回1，不存在的话，因为是&操作，所以返回0。

 

 

 

如何使用位逻辑运算实现位向量呢？

起初，看到这个问题，我也有点懵逼，位逻辑运算还是了解一点，可是位向量这个名词还是有点陌生。

所以，想要解决这个问题，就要明确两个概念：位逻辑运算和位向量。

 

1.位运算：&（按位与）、|（按位或）、>>和<<（移位）、^（异或）、~（取反）、>>>（c中无，java里有）。

位运算实现位向量主要用前三个位运算。

 

2.位向量：顾名思义，位向量就是用一些二进制位组成的向量。在很多的情况下，我们可以用一个二进制表示一个对象。但是，我们不能直接用一个变量名直接表示一个位（单独一个位组成的数据类型是不存在的），于是，我们就可以考虑将多个位组成基本的数据类型，然后通过对这个基本的数据类型进行操作，从而达到对位进行操作的目的。同时，为了方便，把由位组成的基本数据类型组成数组，这样就可以对一定范围的为位数据集合进行操作了。

 

3.如何真正的操作位向量：对位向量各位的操作不能直接通过名称去访问， 只能通过位置去操作，也就是我们要操作第几位数。在我们看来，位是由0-n连续的， 实际上，我们是用基本数据类型数组来存储的，因为这些位存在于不同的数组元素之中，分布于不同数组的不同位置当中。假设我们以int类型作为 基本数据类型，则一个int类型可以存储32个位（c++中）。则对于一个特定的位（pos），我们要先求出它处于哪个数组之中（pos/32），然后求出该位在这个数组中具体的位置（pos%32）。

 

4.对于位的具体操作有三个：对特定位置1，对特定位清0，判断特定位。

 

5.想要对位进行操作，还要理解下面几个表示：

①m/(2^n) = m>>n;

②m%(2^n) = ( m & 2^(n)-1 );

③将int型变量a的第k位置1: a = ( a | (1 << k) );

④将int型变量a的第k位清0: a = ( a & ~(1 <<k) ).

 

 

#include<stdio.h>  
  
#define BITSPERWORD 32  
#define SHIFT 5  
#define MASK 0x1F//2^5-1  
#define N 10000000  
int a[1 + N/BITSPERWORD];  
  
//将第i位置1  
void set( int i)  
{  
    a[ i >> SHIFT] = ( a[ i >> SHIFT] | (1 << (i & MASK)));  
}  
  
//将第i位清0  
void clr( int i)  
{  
    a[ i >> SHIFT] = ( a[ i >> SHIFT] & ~(1 << (i & MASK)));  
}  
  
//判断对应位  
int test( int i)  
{  
    return a[ i >> SHIFT] & ( 1 << (i & MASK));  
}  
  
int main()  
{  
    set(1001);  
    if( test(1001))  
    {  
        printf("true %d\n",test(1001));  
    }  
    else  
        printf("false\n");  
  
    clr(1001);  
    if( test(1001))  
        printf("true\n");  
    else  
        printf("false\n");  
  
  
    return 0;  
}