SDSC2018 Day2

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T1数学害死人啊，只写了T1要完蛋啦！！！w(ﾟДﾟ)w 　 ## Problem A. 最近公共祖先 (commonants.c/cpp/pas)

Input file: commonants.in
Output file: commonants.out
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Memory Limit: 512 megabytes
　

最近公共祖先（Lowest Common Ancestor,LCA）是指在一个树中同时拥有给定的两个点作为后 代的最深的节点。

为了学习最近公共祖先，你得到了一个层数为 $ n + 1 $ 的满二叉树，其中根节点的深度为 $ 0 $ ，其他 节点的深度为父节点的深度 $ +1 $ 。
你需要求出二叉树上所有点对 $ (i,j) $ ,$ （i,j $ 可以相等，也可以 $ i > j）$ 的最近公共祖先的深度之和对 $ 10^9 + 7 $ 取模后的结果。
　

Input

一行一个整数 $ n $ 。
　

Output

一行一个整数表示所有点对 $ (i,j),（i,j $ 可以相等，也可以 $ i > j）$ 的最近公共祖先的深度之和对 $ 10^9 + 7 $ 取模后的结果。
　

Examples

commonants.in	commonants.out
2	22
19260817	108973412

　

Notes

样例 1 解释：

树一共有 7 个节点（一个根节点和两个子节点），
其中 (4,4),(5,5),(6,6),(7,7) 共 4 对的最近公共祖先深度为 2，
(4,2),(2,4),(5,2),(2,5),(5,4),(4,5),(2,2),(6,3),(3,6),(3,7),(7,3),(6,7),(7,6),(3,3) 共 14 对最 近公共祖先深度是 1 ，
其他的点对最近公共祖先深度为 0 ，所以答案为 22 。

对于 20% 的数据，$ n ≤ 10 $ 。
对于 50% 的数据，$ n ≤ 10^6 $ 。
对于 100% 的数据，$ 1 ≤ n ≤ 10^9 $ 。

　

题解

• 考虑每棵子树对答案的贡献。

• 设当前层数为 $ i $ ，子树的大小（节点数量，包括子树根）为 $ 2^{n-i+1} $ ，该层有 $ 2^i $ 棵这样的子树。

• 对于除子树根外，两棵子树的节点互相选择，$ lca$ 一定为子树根，贡献为 $ \frac{2^{n-i+1}-1}{2} \times \frac {2^{n-i+1}-1}{2} \times 2 $

• 对于子树根来说，每个子节点与自己的 $ lca $ 一定也是自己，贡献为 $ (2^{n-i+1}-1) \times 2 \times i $

• 对于整棵子树来说，自己和自己的 $ lca $ 也要贡献答案，所以设上述贡献的和为 $ tmp $ ，则这层的贡献为 $ (tmp+i)*2^i $

• 整个式子是这样的 $ \sum_{i=1}^n ((\frac{2^{n-i+1}-1}{2} \times \frac {2^{n-i+1}-1}{2} \times 2 + (2^{n-i+1}-1) \times 2 \times i )+i)*2^i $
  　

• 化简（这个过程很艰难）得：$ \sum_{i=1}^n (2^{2n-i+1}-2i) \times i $

• 好的，熟悉的数学必修5时间到了！ヾ(•ω•`)o
  　

\[S=2^{2n}-2^1+2 \times (2^{2n-1}-2^2) + 3 \times (2^{2n-2} - 2^3) + \dots + (n-1) \times (2^{n+1} - 2^{n-1}) + n \times (2^{n+1} - 2^n) \]

\[2S=2^{2n+1} - 2^2+ 2 \times (2^{2n}-2^3) + 3 \times (2^{2n-1} - 2^4) + \dots + (n-1) \times (2^{n+2} - 2^n) + n \times (2^{n+2} - 2^{n+1}) \]

　

• 展开一、二式
  　

\[S=2^{2n} - 2 \times 2^2 + 2\times 2^{2n-1} - 3 \times 2^3 + 3 \times 2^{2n-2} + \dots + n \times 2^{n+1} - n \times 2^n - 2^1 \]

\[2S=2 \times 2^{2n} - 2^2 + 3 \times 2^{2n-1} - 2 \times 2^3 + 4 \times 2^{2n-2} - \dots + n \times 2^{n+2} - n \times 2^{n+1} + 2^{2n+1} \]

　

• 合并（这个过程也很艰难），我们可以发现式子就是（可能有误，未效验）
  　

\[2S-S= \sum_{i=1}^n 2^i + \sum_{i=n+1}^{2n} 2^i - n \times 2^{n+1} \]

　

• 最终的答案为：
  　

\[ans = 2^{2n+2} + 2^{n+1} - (n+1) \times 2^{n+2} -2 \]

　

• 直接使用快速幂即可

　

代码

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
using namespace std;
#define int unsigned long long
#define Mod 1000000007
int n,tot,ans;
int qpow(int k){
	int res=2,x=2; --k;
	while(k){
		if(k&1) res=res*x%Mod;
		x=x*x%Mod;
		k>>=1;
	}
	return res;
}
signed main(){
	freopen("commonants.in","r",stdin);
	freopen("commonants.out","w",stdout);
	scanf("%lld",&n);
	printf("%lld",((((qpow(2*n+2)%Mod+qpow(n+1)%Mod)%Mod-(n+1)*qpow(n+2)%Mod)+Mod)%Mod-2+Mod)%Mod);
	return 0;
}