图的连通性问题的小结 （双连通、2-SAT）

图的连通性问题包括：

1、强连通分量。

2、最小点基和最小权点基。

3、双连通。

4、全局最小割。

5、2-SAT

 

一、强连通分量

强连通分量很少单独出题，一般都是把求强连通分量作为缩点工具。

有三种算法：

1、Kosaraju算法。对原图和反图分别进行一次深度优先搜索。

2、Tarjan算法。用了时间戳。

3、Garbow算法。与Tarjan算法是同一思想，但更精妙。

三种算法的模版我已经贴过了  http://www.cnblogs.com/Potato-lover/p/3956604.html

 

二、最小点基和最小权点基

这个我单独做了总结 http://www.cnblogs.com/Potato-lover/category/606571.html

 

三、双连通

这个也单独做了总结 http://www.cnblogs.com/Potato-lover/p/4001179.html

 

四、全局最小割

学了网络流都知道，最小割问题等价于最大流问题。但是最大流的时间复杂度是O(n*n*n*m), 有时候出题者就要卡时间，最大流算法会超时。

Stoer-Wanger算法：

算法的思想是：对于图中的任意两个顶点u和v,如果它们属于同一个集合，那么将顶点u和顶点v合并以后并不影响图的最小割。

时间复杂度为O(n*n*n) 。

题目：

Hdu 3691 Nubulsa Expo 类似与hdu2914

建图以后直接上模版（主要是要知道有这个算法）

 模版中顶点标号是从0开始的，存图的时候从0开始不用修改模版。题中有重边，重边的处理是把所有的边权值加起来作为一条边。所以矩阵初始化为0。

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
using namespace std;
const int N=1010, INF=0x3f3f3f3f;
int Map[N][N],Node[N],dis[N];
bool vis[N];
int ans;
void SW(int n)
{
    int maxj,pre,m,i,j;
    ans=INF;
    for(i=0;i<n;i++) Node[i]=i;
    while(n>1)
    {
        m=-1; maxj=1;
        for(i=1;i<n;i++)
        {
            dis[Node[i]]=Map[Node[0]][Node[i]];
            vis[Node[i]]=0;
            if(dis[Node[i]]>m) {m=dis[Node[i]];maxj=i;}
        }
        pre=0;
        vis[Node[0]]=1;
        for(j=1;j<n;j++)
        {
            vis[Node[maxj]]=1;
            if(j==n-1)
            {
                ans=min(ans,m);
                for(i=0;i<n;i++)
                {
                    Map[Node[pre]][Node[i]]+= Map[Node[maxj]][Node[i]];
                    Map[Node[i]][Node[pre]]+= Map[Node[maxj]][Node[i]];
                }
                Node[maxj]=Node[--n];
            }
            else
            {
                pre=maxj; m=-1;
                for(i=1;i<n;i++)
                {
                    if(!vis[Node[i]])
                    {
                        dis[Node[i]] += Map[Node[pre]][Node[i]];
                        if(dis[Node[i]]>m) {m=dis[Node[i]]; maxj=i;}
                    }
                }
            }
        }
    }
}
int main()
{
    freopen("test.txt","r",stdin);
    int n,m,s,i,j,k;
    while(scanf("%d%d%d",&n,&m,&s)!=EOF&&n)
    {
        memset(Map,0,sizeof(Map));
        while(m--)
        {
            scanf("%d%d%d",&i,&j,&k);
            i--;j--;
            Map[i][j]+=k; Map[j][i]+=k;
        }
        SW(n);
        printf("%d\n",ans);
    }
    return 0;
}

 

五、2-SAT

以前做出总结  http://www.cnblogs.com/Potato-lover/p/3965512.html

 

PS：参考资料主要来自《图论及应用》，哈尔冰工业大学出版。