最短路径问题小结
最短路径问题包括：
1、单源最短路。
2、任意两点间的最短路。
3、次短路和k短路。
4、差分约束系统。
5、DAG图上的单源最短路。
6、最小环。
一、单源最短路
算法： Dijkstra 、 Bellman - Ford 、SPFA
Dijkstra: 除了路径记录和更新距离数组的部分意外，和Prim算法的实现完全一样。使用邻接矩阵建图，时间复杂度为O(n*n)。使用邻接表可能会快一些。堆优化比较麻烦，没学。缺点是图中不能含有负圈。
Bellman - Ford ：可以处理负圈。以链式前向星建图，时间复杂度为O (n*m)。
SPFA: 优化的Bellman - Ford算法，可以处理负圈。期望的时间复杂度为O(k*m),k<=2。普遍认为其效率高于朴素的Dijkstra,低于堆优化的Dijkstra。
题目：
多源转单源 hdu2066一个人的旅行（是谁说新手刷杭电11页的，学了最短路还卡了很久）
来回最短路(有向图) 建反向图 hdu1535Invitation Cards
有限制的最短路 hdu3873 Invade the Mars http://www.cnblogs.com/Potato-lover/p/3955179.html
二分法求带限制的最短路 hdu2962 Trucking （二分查找的应用实在太广了，二分匹配、网络流都有二分技术）
（综合题）强连通+最短路 poj3114
二、任意两点间的最短路
解决的问题：给出一幅图（有向或者无向），有多次询问，问任意两点之间的最短距离是多少。
暴力的方法：运行多次最短路算法。一般这种题目的数据量大，此算法复杂度太高，不适用。
Floyd算法：邻接矩阵建图，三重循环，时间复杂度为O(n*n*n)。
提醒：初学者一般会把算法混淆。比如说，把这种题目理解为LCA问题，然后用离线的Tarjan算法来做，时间复杂度是O（m+q）,不是更快么？需要知道的是LCA问题是指树的最近公共祖先，其解题范围是树。对于有环的图是无能为力的。
题目：
输出最短路的路径(字典序最小) hdu1385Minimum Transport Cos 传送门：http://www.cnblogs.com/Potato-lover/p/3959795.html
三、次短路和k短路
字面上看次短就是第二路边，归结到K短路就可以了。实现却不能这样做，原因是算法的实现不能这样做。说到底还是时间复杂度的问题。
次短路是通过修改Dijkstra算法而实现的。时间复杂度是O(n*n)。
K短路是通过SPFA+A*实现的。如果只求K短路的值效率挺高的，但是如果要求与K短路值相同的路径有多少条，这个就很复杂了。
暴力的方法：求一遍最短路，记录路径并记录任意两点之间的路径之间的最大边，枚举所有边。（类似与Prim暴力求次小生成树）。
下面是K短路的实现：
SPFA + A* 实现K短路
K短路要用到A*算法，A*算法通过一个估价函数f(h)来估计途中的当前点p到终点的距离，并由此决定它的搜索方向，当这条路径失败时，它会尝试其他路径。对于A*，估价函数 = 当前值 + 当前位置到终点的距离， 即f (p) = g (p) + h (p) ,每次扩展估计函数值最小的一个。对于K短路算法来说，g (p) 为当前从s到p所走的路径的长度，h (p)为从点p到t的最短路的长度，则f (p)的意义就是从s按照当前路径走到p后再走到终点t一共至少要走多远。
具体实现步骤：
使用链式前向星来存储图, 由于需要预处理所有的点到终点T的最短路径，就需要将图G中所有的边反响得到G1再从终点T做单源最短路径，所以实际上是两张图。
1、将有向图的所有边反向。以T（终点）为源点，求解T到所有点的最短距离。这一步可以用Dijkstra 或者 SPFA算法。我用的是 SPFA（shortest path faster algorithm）。
2、新建一个优先队列，将源点S加入到队列中。
3、从优先队列中弹出f (p)最小的p,如果点p就是t ,则计算t出队的次数，如果当前为T的第K次出队，则当前路径的长度就是s到t的第K短路的长度，算法结束。否则，遍历与p项链的所有的边，将扩展出的到p的邻接点信息加入到优先队列。
注意：当s = =t时需要计算K+1短路，以为s到t这条距离为0的路不能算在这K短路中，这时只需将K加1后再求第K短路即可。
题目：
次短路 hdu3191 hdu1688
K短路 poj2499
国界传送门：http://www.cnblogs.com/wally/archive/2013/04/16/3024490.html
四、差分约束系统
我已经做出总结。 传送门：http://www.cnblogs.com/Potato-lover/p/3959979.html
五、DAG图上的单源最短路
伪代码：
1、初始化，入度为0的结点dist为0，其他的结点的dist为INF。
2、对DAG进行拓扑排序，得到拓扑序列。
3、按照拓扑序列遍历DAG的点，对于每个点u，遍历其所有的出边<u,v>，如果dist[v] > dist[u ] + Map[u][v],那么dist[v] > dist[u ] + Map[u][v]。
此方法可以处理负权边。
题目： poj3249
1 #include<iostream> 2 #include<cstdio> 3 #include<cstring> 4 #include<algorithm> 5 using namespace std; 6 7 const int N = 100010, M =1100010, INF=0x3f3f3f3f; 8 struct node 9 { 10 int to, w, next; 11 }; 12 node edge[M]; 13 int ind[N], head[N], dist[N], que[N], cost[N]; 14 //Èë¶È 15 int iq, ans; 16 void topo(int n) 17 { 18 int i,k; 19 iq=0; 20 memset(que,0,sizeof(que)); 21 for(i=1;i<=n;i++) 22 if(ind[i]==0) que[iq++]=i; 23 for(i=0;i<iq;i++) 24 { 25 for(k=head[que[i]]; k!=-1; k=edge[k].next) 26 { 27 ind[edge[k].to]--; 28 if(ind[edge[k].to]==0) 29 que[iq++]=edge[k].to; 30 } 31 } 32 } 33 void DAG(int n) 34 { 35 int i,k; 36 ans=-INF; 37 for(i=1;i<=n;i++) dist[i]=-INF;// -INF 38 dist[n]=0; 39 for(i=0;i<iq;i++) 40 { 41 int flag=1; 42 for(k=head[que[i]];k!=-1;k=edge[k].next) 43 { 44 flag=0; 45 if(dist[edge[k].to]<dist[que[i]] + edge[k].w) 46 dist[edge[k].to]=dist[que[i]] + edge[k].w; 47 } 48 if(flag) ans=max(ans,dist[que[i]]); 49 } 50 } 51 void addedge(int i,int j,int k,int w) 52 { 53 edge[k].to=j; 54 edge[k].w=w; 55 edge[k].next=head[i]; 56 head[i]=k; 57 } 58 int main() 59 { 60 //freopen("test.txt","r",stdin); 61 int n,m,i,j,k,t; 62 while(scanf("%d%d",&n,&m)!=EOF) 63 { 64 memset(head,-1,sizeof(head)); 65 memset(ind,0,sizeof(ind)); 66 for(i=1;i<=n;i++) scanf("%d",&cost[i]); 67 for(k=0;k<m;k++) 68 { 69 scanf("%d%d",&i,&j); 70 ind[j]++; 71 addedge(i,j,k,cost[j]); 72 } 73 for(i=1;i<=n;i++) 74 if(ind[i]==0) 75 { 76 ind[i]=1; 77 addedge(n+1,i,k++,cost[i]); 78 } 79 topo(n+1); 80 DAG(n+1); 81 printf("%d\n",ans); 82 } 83 return 0; 84 }
六、最小环
用Floyd求最小环
Poj1734 Sightseeing trip
Hdu1599
传送门：http://www.cnblogs.com/Potato-lover/p/3954124.html
