有向无环图的最小路径覆盖 二分图模型解题
有向无环图中，路径覆盖就是在图中找一些路径，使之覆盖了图中的所有顶点，且任何一个顶点有且只有一条路径与之关联（如果把这些路径中的每条路径从它的起始点走到它的终点，那么恰好可以经过图中的每个顶点一次且仅一次）。
最小路径覆盖就是找出最小的路径条数，使之成为原图的一个路径覆盖。
公式：最小路径覆盖=（原图）顶点数－对应的二分图的最大匹配数。
我们通过例题来解释如何把DAG转换为二分图模型。
题目大意：在一个城镇，有n个路口，和m条单向路，而且这些路不会形成环。现在要弄一些伞兵去巡查这个城镇，伞兵只能沿着路的方向走，问最少需要多少伞兵才能把所有的路口搜一遍。
从题目的描述中就能看出这是求最小路径覆盖。
看第一组测试数据：
4
3
3 4
1 3
2 3
我们把每个点都拆成两个点，代表着这个点的出度，也有入度。那么拆点后一个点就变为了两个点x和x'，所有的点就构成了X、Y两个集合。可以发现x是只能边的起点，x'边的终点，那么求最大匹配与原图求没有相交的路径数就变为一样的了。（为什么就变成一样的？）
图片演示了如何转化为二分图模型。（图片哪来的？《图论及应用》，哈尔滨工业大学出版的）
下面是代码：
1 #include<iostream> 2 #include<cstdio> 3 #include<cstring> 4 #include<algorithm> 5 #include<queue> 6 using namespace std; 7 8 const int N=1005,INF=0x3f3f3f3f; 9 int bmap[N][N],cx[N],cy[N],dx[N],dy[N]; 10 bool bmask[N]; 11 int nx,ny,dis,ans; 12 bool searchpath() 13 { 14 queue<int> q; 15 dis=INF; 16 memset(dx,-1,sizeof(dx)); 17 memset(dy,-1,sizeof(dy)); 18 for(int i=1;i<=nx;i++) 19 { 20 if(cx[i]==-1){ q.push(i); dx[i]=0; } 21 while(!q.empty()) 22 { 23 int u=q.front(); q.pop(); 24 if(dx[u]>dis) break; 25 for(int v=1;v<=ny;v++) 26 { 27 if(bmap[u][v]&&dy[v]==-1) 28 { 29 dy[v]= dx[u] + 1; 30 if(cy[v]==-1) dis=dy[v]; 31 else 32 { 33 dx[cy[v]]= dy[v]+1; 34 q.push(cy[v]); 35 } 36 } 37 } 38 } 39 } 40 return dis!=INF; 41 } 42 int findpath(int u) 43 { 44 for(int v=1;v<=ny;v++) 45 { 46 if(!bmask[v]&&bmap[u][v]&&dy[v]==dx[u]+1) 47 { 48 bmask[v]=1; 49 if(cy[v]!=-1&&dy[v]==dis) continue; 50 if(cy[v]==-1||findpath(cy[v])) 51 { 52 cy[v]=u; cx[u]=v; 53 return 1; 54 } 55 } 56 } 57 return 0; 58 } 59 void maxmatch() 60 { 61 ans=0; 62 memset(cx,-1,sizeof(cx)); 63 memset(cy,-1,sizeof(cy)); 64 while(searchpath()) 65 { 66 memset(bmask,0,sizeof(bmask)); 67 for(int i=1;i<=nx;i++) 68 if(cx[i]==-1) ans+=findpath(i); 69 } 70 } 71 void init() 72 { 73 memset(bmap,0,sizeof(bmap)); 74 } 75 int main() 76 { 77 //freopen("test.txt","r",stdin); 78 int n,m,i,j,k,cas; 79 scanf("%d",&cas); 80 while(cas--) 81 { 82 scanf("%d%d",&n,&m); 83 init(); 84 while(m--) 85 { 86 scanf("%d%d",&i,&j); 87 bmap[i][j]=1; 88 } 89 nx=ny=n; 90 maxmatch(); 91 printf("%d\n",n-ans); 92 } 93 return 0; 94 }
