泰勒展开式和麦克劳林展开式

这里放一下泰勒展开式和麦克劳林展开式：

\[f(x)=\sum_{i=0}^\infty\frac{f^{(i)}(a)}{i!}(x-a)^i\\ \]

然后当 \(a=0\) 的时候就是麦克劳林展开式。

我们可以试着来证明这个东西，实际上就是用高阶求导的公式来搞。

\[f(x)=a_kx^k\\ f'(x)=a_kkx^{k-1}\\ f^{(k)}(x)=a_kk!x^0=a_kk!\\ \]

然后我们带入 \(x=0\) 就可以算出其 \(k\) 次项系数了。

然后还需要注意的是负次数多项式的求导是和普通的一样的。

\[f(x)=x^i\\f'(x)=ix^{i-1}\\ \]

即，

\[f(x)=\frac{1}{x}=x^{-1}\\ f'(x)=-1x^{-2}=-\frac{1}{x^2}\\ \]

然后我们知道（实际上刚刚并不知道）\(\ln'(x)=\frac{1}{x},\exp'(x)=\exp(x)\) 。

复合函数的求导法则。

\[(f(g(x)))'=f'(g(x))\cdot g'(x)\\ \]