P4566 [CTSC2018]青蕈领主
这是一道牛逼题。
首先我们可以尝试找一波连续区间的性质。
- 如果两个连续区间有交，那么这两个连续区间的并也是连续区间，
证明略（这么简单都要我来证吗？）。
首先可以发现 \(L_n\) 必然等于 \(1\) ，然后又由于上面的这个性质，我们可以得到若干个不交的连续段，对于每一个连续段其结尾的 \(L_i\) 必然等于开头的位置，这样我们便将整个排列划成了若干个子排列。通过递归处理，我们可以轻易地得到一棵树的结构。
剩下的，我们便需要在这个树的叶子上填入排列，使之满足符合给定 \(L_i\) ，或者说符合这棵树对应的结构。
对于一个节点 \(u\) ，我们实际上可以考虑将这个节点的方案数拆分成两个步骤。
- 该节点的每一个孩子节点都是连续段，我们可以考虑将其缩成一个数字，统计这些数字构成的不能存在非包含末尾位置的连续段的排列数。
- 考虑再将每个数字拆成连续段，即乘上每一个子树的方案数。
那么我们的问题现在便十分明确了，求出 \(f_i\) 表示长度为 \(i\) 的满足不能存在非包含末尾位置的连续段的排列数。
考虑最后一个位置十分特殊，所以我们考虑从后往前填入数，这里填入数的方式是选择一个符合当前长度的数，将所有比该数大的数都加一。这里我们存在两种情况。
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由 \(f_{i-1}\) 转移而来，那么我们只需要不和最后一个位置的数相邻即可，有 \(i-2\) 种。
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存在一个长度为 \(j\) 的连续段，但是加上第 \(i\) 位后就不存在这个连续段了。首先存在一个想法是先将这个长度为 \(j\) 的连续段缩成一个点，缩完之后的长度为 \(i-j+1\) 的排列同样是需要满足上面的性质的。
我们再来考虑一波 \(f_i\) 的性质，发现如果我们将每一个元素变成其所在位置，即 \(b_{a_i}=i\) ，\(f_i\) 就变成了不存在非包含最大值的连续段的排列的个数。我们此时就钦定我们填入的数是正好为长度为 \(j+1\) 的排列中最大的数，那么由于这个最大的数被我们移动到了第一个位置，所以剩下的长度为 \(j\) 的排列便不存在连续段了。
考虑到对于长度为 \(j\) 的连续段，我们填入的最大值的范围为 \(i-j-1\) ，所以贡献为可以得到为 \(\sum_{j=2}^{i-2}(i-j-1)f_{i-j+1}f_{j+1}\) 。
然后这个东西显然可以用分治 \(\text{fft}\) 优化，这样的话我们就搞完了。
