奇怪的二项式定理
与下降幂相关的类二项式定理
\[(a+b)^{\underline k}=\sum_{i=0}^k\binom{k}{i}a^{\underline i}b^{\underline{k-i}}
\]
考虑直接把下降幂转化成组合数。
\[(a+b)^{\underline k}=\binom{a+b}{k}k!\\
\sum_{i=0}^k\binom{k}{i}a^{\underline i}b^{\underline{k-i}}=\sum_{i=0}^k\binom{k}{i}\binom{a}{i}i!\binom{b}{k-i}(k-i)!\\
=\sum_{i=0}^k\binom{a}{i}\binom{b}{k-i}k!\\
\]
两边都除掉 \(k!\) ，然后就是一个范德蒙德卷积。
\[\binom{a+b}{k}=\sum_{i=0}^k\binom{a}{i}\binom{b}{k-i}\\
\]
与上升幂相关的类二项式定理
\[(a+b)^{\overline k}=\sum_{i=0}^k\binom{k}{i}a^{\overline i}b^{\overline{k-i}}\\
\]
还是尝试转成组合数。
\[(a+b)^{\overline k}=\binom{a+b+k-1}{a+b-1}k!\\
\sum_{i=0}^k\binom{k}{i}a^{\overline i}b^{\overline{k-i}}=\sum_{i=0}^k\binom{k}{i}\binom{a+i-1}{a-1}i!\binom{b+k-i-1}{b-1}(k-i)!\\
=\sum_{i=0}^k\binom{a+i-1}{a-1}\binom{b+k-i-1}{b-1}k!
\]
还是两边除掉 \(k!\) 。
\[\binom{a+b+k-1}{a+b-1}=\sum_{i=0}^k\binom{a+i-1}{a-1}\binom{b+k-i-1}{b-1}\\
\]
这个式子组合意义理解一下，是对的。
与导数相关的类二项式定理
\[(f\cdot g)^{(k)}=\sum_{i=0}^k\binom{k}{i}f^{(i)}g^{(k-i)}\\
\]
卧槽这个式子真的假的啊。哦，就直接乘积的导数暴力拆开？
