P4377 [USACO18OPEN]Talent Show

一开始他还不是题解，是草稿……

题解

设 \(x_i\) 表示第 \(i\) 个点选或不选，可得

\[ans=max(\frac{ \sum_{i=1}^{n}(x_i\times t_i)}{\sum_{i=1}^{n}(x_i\times w_i)}) \]

我们不妨设一个函数如下

\[y=ans\times \sum_{i=1}^{n}(x_i\times w_i)-\sum_{i=1}^{n}(x_i\times t_i) \]

我们以 \(ans\) 为自变量，\(y\) 为因变量，剩下的表达式的所有取值为常量，我们就可以画出 \(2^n\) 方个函数图像，我们可以简单画一下函数图像（随便画的几根线）。

首先，可以得到的是，这个 \(ans\) 要成立的话是要有一条函数的在取自变量为当前 \(ans\) 的情况下取 \(0\) 。（十分显然，不然就不满足我们上面的第一个式子了）

同时我们需要 \(ans\) 最大，所以我们需要找到最右边的一个满足条件的 \(ans\) ，在本图中就是黄色直线与 \(y\) 轴的交点。

然后我们考虑如何找出这个交点，可以发现，对于一个固定的 \(ans\) ，我们可以通过求所有函数的最小值与 \(0\) 的关系来求解。如果最小值小于 \(0\) ，那么 \(ans\) 偏小；如果大于 \(0\) ，那么 \(ans\) 偏大；如果等于，那么就是答案。发现这个东西是满足单调性的，可以二分求解；同时求最小值的操作是可以 \(dp\) 的，复杂度是满足的。

但是这道题目还给我们添加了一个限制条件，即重量和必须大于等于 \(W\) ，我们可以考虑在 \(dp\) 的时候添加限制条件。我们设\(f_{i,j}\) 表示到第 \(i\) 个点，且重量和为 \(j\) 时的最小值是什么，我们可以发现 \(w_i\) 的值很大，但是 \(W\) 的值很小，所以我们只需要维护 \(1000\) 就可以了，大于 \(1000\) 的都放在一千。

以上。

代码如下：

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N=255,W=1005;
int n,w;
struct Cow{int w,t;}s[N];
double f[W];
double l,r,mid,ans;
bool check(double now)
{
	f[0]=0;
	for(int i=1;i<=w;++i) f[i]=1e9+7;
	for(int i=1;i<=n;++i)
	{
		for(int j=w;j>=0;--j)
		f[min(j+s[i].w,w)]=min(f[min(j+s[i].w,w)],f[j]+now*s[i].w-s[i].t);
	}
	return f[w]<=0;
}
int main()
{
	cin>>n>>w;
	for(int i=1;i<=n;++i) scanf("%d%d",&s[i].w,&s[i].t);
	l=0,r=250000;
	while(r-l>1e-4)
	{
		// printf("%lf %lf\n",l,r);
		mid=(l+r)/2;
		if(check(mid))
		l=ans=mid;
		else r=mid;
	}
	printf("%d\n",(int)(ans*1000));
}