P3188 [HNOI2007]梦幻岛宝珠 题解

一道不错的 dp 题，下令原背包容量为 $m$。

注意到 $w_i=a\times 2^b$ 中 $a,b$ 都比较小，尝试按照 $a$ 或者 $b$ 分组然后合并，但是显然如果我们按照 $a$ 分组就会有个问题，那就是背包容量过大无法处理。

于是考虑按照 $b$ 分组，将所有 $b$ 相同的分在一组，每一组内做一次 01 背包，$f_{i,j}$ 表示当前 $b=i$，背包容量为 $j\times 2^b,j\in [0,10\times n]$ 时的最大价值。

接下来就需要考虑如何合并背包，注意到既然我们按照 $b$ 也就是二进制位分组了，那么背包的合并也肯定还是按照二进制分组，类似的设 $g_{i,j}$ 表示当前选取了 $b=0\sim i$ 这些背包，$b=i$ 这一组一共选择的背包容量为 $j\times 2^i$，剩下的 $0\sim i-1$ 这些组的背包选择的容量和 $m$ 二进制低 $i-1$ 位相同。

则有转移方程：

$$g_{i,j}=\max\{f_{i,j-k}+g_{i-1,\min\{10\times n,2\times k+((m>>(i-1))\&1)\}}\}$$

解释就是考虑进位问题，从 $i$ 位中选取 $j-k$ 个，剩下的 $k$ 个从 $i-1$ 位进位而来，后面那一坨位运算就是考虑这一位进位完之后是 0 还是 1。

最后答案就是 $g_{\lfloor\log_2m\rfloor,1}$。

注意多测清空和开 long long。

Code：

/*
========= Plozia =========
	Author:Plozia
	Problem:P3188 [HNOI2007]梦幻岛宝珠
	Date:2022/11/11
========= Plozia =========
*/

#include <bits/stdc++.h>
typedef long long LL;
using std::vector;

const int MAXN = 100 + 5;
int n, m;
LL a[MAXN], b[MAXN], v[MAXN], f[35][MAXN * 10], g[35][MAXN * 10];
vector <int> p[MAXN];

int Read()
{
	int sum = 0, fh = 1; char ch = getchar();
	for (; ch < '0' || ch > '9'; ch = getchar()) fh -= (ch == '-') << 1;
	for (; ch >= '0' && ch <= '9'; ch = getchar()) sum = (sum << 3) + (sum << 1) + (ch ^ 48);
	return sum * fh;
}
LL Max(LL fir, LL sec) { return (fir > sec) ? fir : sec; }

void Solve()
{
	for (int i = 0; i <= 30; ++i) p[i].clear();
	memset(f, 0, sizeof(f)); memset(g, 0, sizeof(g));
	for (int i = 1; i <= n; ++i)
	{
		int w = Read(); v[i] = Read();
		for (int j = 30; j >= 0; --j)
			if (w % (1 << j) == 0 && w / (1 << j) <= 10) { a[i] = w / (1 << j), b[i] = (1 << j); p[j].push_back(i); break ; }
	}
	for (int i = 0; i <= 30; ++i)
	{
		for (int j = 0; j < p[i].size(); ++j)
			for (int k = 10 * n; k >= a[p[i][j]]; --k)
				f[i][k] = Max(f[i][k], f[i][k - a[p[i][j]]] + v[p[i][j]]);
	}
	for (int i = 0; i <= 10 * n; ++i) g[0][i] = f[0][i];
	for (int i = 1; i <= 30; ++i)
	{
		for (int j = 0; j <= 10 * n; ++j)
			for (int k = 0; k <= j; ++k)
				g[i][j] = Max(g[i][j], f[i][j - k] + g[i - 1][std::min(2 * k + ((m >> (i - 1)) & 1), 10 * n)]);
	}
	printf("%lld\n", g[std::__lg(m)][1]);
}

int main()
{
	while (1) { n = Read(), m = Read(); if (n == -1) break ; Solve(); } return 0;
}