P2059 [JLOI2013] 卡牌游戏 题解

一道不错的线性 dp，带了点逆推。

注意到如果我们设 $f_{i,j}$ 表示前 $i$ 轮过后 $j$ 存活的概率，那么我们需要额外记录哪些人无了，否则无法转移。

考虑这样一件事：无论剩下来哪些玩家，如果我们重新编号，庄家编号为 1，剩下的为 2,3,4....，那么每个人胜率其实是固定的，不会因为哪些玩家被淘汰而改变，并且这个胜率只会和之后游戏情况有关，与之前游戏情况没关系。

据此，我们考虑设 $f_{i,j}$ 表示从第 $n$ 轮到第 $n-i+1$ 轮，将庄家重编号为 1，剩下的为 2,3,4... 之后，编号为 $j$ 的人的胜率是多少。显然初值 $f_{1,1}=1$，所求答案即 $f_{n,i}$。

考虑如何转移，每次我们枚举当前使用了哪一张牌，设为 $a_j$，那么显然 $a_j\bmod i$（如果为 0 就置为 $i$）这个人会被淘汰，从 $(a_j\bmod i)+1$ 这个人开始，会顺次成为下一轮的庄家，2 号，3 号...，对应的胜率就是 $f_{i-1,1},f_{i-1,2},f_{i-1,3}...$，加上去即可，注意由于我们枚举了当前使用的牌，这里还有 $\dfrac{1}{m}$ 的概率，因此实际要加上的概率是 $\dfrac{1}{m}f_{i-1,1},\dfrac{1}{m}f_{i-1,2}...$。

最后不要忘记用百分数形式输出即可。

Code：

/*
========= Plozia =========
	Author:Plozia
	Problem:P2059 [JLOI2013] 卡牌游戏

	Date:2022/10/19
========= Plozia =========
*/

#include <bits/stdc++.h>
typedef long long LL;

const int MAXN = 50 + 5;
int n, m, a[MAXN];
double f[MAXN][MAXN];

int Read()
{
	int sum = 0, fh = 1; char ch = getchar();
	for (; ch < '0' || ch > '9'; ch = getchar()) fh -= (ch == '-') << 1;
	for (; ch >= '0' && ch <= '9'; ch = getchar()) sum = (sum << 3) + (sum << 1) + (ch ^ 48);
	return sum * fh;
}

int main()
{
	n = Read(), m = Read(); for (int i = 1; i <= m; ++i) a[i] = Read();
	f[1][1] = 1;
	for (int i = 2; i <= n; ++i)
		for (int j = 1; j <= m; ++j)
		{
			int p = a[j] % i;
			for (int k = 1; k < i; ++k)
			{
				p = p % i + 1; f[i][p] += f[i - 1][k] / m;
			}
		}
	for (int i = 1; i <= n; ++i) printf("%.2lf%% ", f[n][i] * 100);
	puts(""); return 0;
}