P6835 [Cnoi2020]线形生物 题解

通过这道题可以看出来 pz 根本不会期望

考虑期望线性性质，设 \(E_{x\to y}\) 表示从 \(x\) 走到 \(y\) 的期望步数，那么有 \(E_{1\to n+1}=\sum_{i=1}^nE_{i\to i+1}\)，因此考虑计算 \(E_{i\to i+1}\)，下记 \(f_i=E_{i\to i+1}\)。

设 \(d_i\) 表示 \(i\) 的返祖边边数，\(E\) 表示返祖边边集，\(sum_i=\sum_{p=1}^{i}f_p\)则有如下一系列转化：

\[E_{i\to i+1}=\dfrac1{d_x+1}\times1+\sum_{i\to u\in E}E_{u\to i+1} \]

\[E_{i\to i+1}=\dfrac1{d_x+1}\times1+\sum_{i\to u\in E}\sum_{p=u}^iE_{p\to p+1} \]

\[f_i=\dfrac1{d_x+1}+\sum_{i\to u\in E}(sum_i-sum_{u-1}) \]

下面这步将和式的 \(sum_i\) 提出，化简得到：

\[f_i=(d_x+1)+\sum_{i\to u\in E}(sum_{i-1}-sum_{u-1}) \]

维护前缀和即可。

Code：

/*
========= Plozia =========
	Author:Plozia
	Problem:P6835 [Cnoi2020]线形生物
	Date:2022/9/26
========= Plozia =========
*/

#include <bits/stdc++.h>
typedef long long LL;
using std::vector;

const int MAXN = 1e6 + 5;
const LL P = 998244353;
int n, m;
vector <int> Edge[MAXN];
LL f[MAXN], sum[MAXN];

int Read()
{
	int sum = 0, fh = 1; char ch = getchar();
	for (; ch < '0' || ch > '9'; ch = getchar()) fh -= (ch == '-') << 1;
	for (; ch >= '0' && ch <= '9'; ch = getchar()) sum = (sum << 3) + (sum << 1) + (ch ^ 48);
	return sum * fh;
}

int main()
{
	Read(); n = Read(), m = Read();
	for (int i = 1; i <= m; ++i) { int u = Read(), v = Read(); Edge[u].push_back(v); }
	for (int i = 1; i <= n; ++i)
	{
		f[i] = Edge[i].size() + 1;
		for (int j = 0; j < Edge[i].size(); ++j)
			f[i] = ((f[i] + sum[i - 1] - sum[Edge[i][j] - 1]) % P + P) % P;
		sum[i] = (sum[i - 1] + f[i]) % P;
	}
	printf("%lld\n", sum[n]); return 0;
}