P6835 [Cnoi2020]线形生物 题解

通过这道题可以看出来 pz 根本不会期望

考虑期望线性性质，设 $E_{x\to y}$ 表示从 $x$ 走到 $y$ 的期望步数，那么有 $E_{1\to n+1}=\sum_{i=1}^nE_{i\to i+1}$，因此考虑计算 $E_{i\to i+1}$，下记 $f_i=E_{i\to i+1}$。

设 $d_i$ 表示 $i$ 的返祖边边数，$E$ 表示返祖边边集，$sum_i=\sum_{p=1}^{i}f_p$则有如下一系列转化：

$$E_{i\to i+1}=\dfrac1{d_x+1}\times1+\sum_{i\to u\in E}E_{u\to i+1}$$

$$E_{i\to i+1}=\dfrac1{d_x+1}\times1+\sum_{i\to u\in E}\sum_{p=u}^iE_{p\to p+1}$$

$$f_i=\dfrac1{d_x+1}+\sum_{i\to u\in E}(sum_i-sum_{u-1})$$

下面这步将和式的 $sum_i$ 提出，化简得到：

$$f_i=(d_x+1)+\sum_{i\to u\in E}(sum_{i-1}-sum_{u-1})$$

维护前缀和即可。

Code：

/*
========= Plozia =========
	Author:Plozia
	Problem:P6835 [Cnoi2020]线形生物
	Date:2022/9/26
========= Plozia =========
*/

#include <bits/stdc++.h>
typedef long long LL;
using std::vector;

const int MAXN = 1e6 + 5;
const LL P = 998244353;
int n, m;
vector <int> Edge[MAXN];
LL f[MAXN], sum[MAXN];

int Read()
{
	int sum = 0, fh = 1; char ch = getchar();
	for (; ch < '0' || ch > '9'; ch = getchar()) fh -= (ch == '-') << 1;
	for (; ch >= '0' && ch <= '9'; ch = getchar()) sum = (sum << 3) + (sum << 1) + (ch ^ 48);
	return sum * fh;
}

int main()
{
	Read(); n = Read(), m = Read();
	for (int i = 1; i <= m; ++i) { int u = Read(), v = Read(); Edge[u].push_back(v); }
	for (int i = 1; i <= n; ++i)
	{
		f[i] = Edge[i].size() + 1;
		for (int j = 0; j < Edge[i].size(); ++j)
			f[i] = ((f[i] + sum[i - 1] - sum[Edge[i][j] - 1]) % P + P) % P;
		sum[i] = (sum[i - 1] + f[i]) % P;
	}
	printf("%lld\n", sum[n]); return 0;
}