ARC066B Xor Sum 题解

据题意显然有 \(a\ge b\)，证明就是一个为进位加法一个不进位加法，考虑按 \(a\) dp，设 \(f_{i,j}\) 表示当前 dp 到二进制下从低到高第 \(i\) 位，符合条件的一组解 \((x,y)\)，\(x+y=j\) 的方案数。

考虑如何从 \(i-1\) 位转移，由于对于 \((x,y)\)，其第 \(i\) 位只有 4 种情况：\((0,0),(0,1),(1,0),(1,1)\)，但是对于和 \(j'\) 而言，只有 \(j=j'+j',j=j'+(j'+1),j=(j'+1)+(j'+1)\)，因此有转移方程 \(f_{i,j}=f_{i-1,\lfloor\frac{j}{2}\rfloor}+f_{i-1,\lfloor\frac{j-1}{2}\rfloor}+f_{i-1,\lfloor\frac{j-2}{2}\rfloor}\)。

然后第一维可以省略，第二维状态数量为 \(O(\log n)\) 级别，用 map 存一下即可，初值 \(f_0=1,f_1=2\)。

Code：

/*
========= Plozia =========
	Author:Plozia
	Problem:
	Date:2022/9/25
========= Plozia =========
*/

#include <bits/stdc++.h>
typedef long long LL;
using std::map;

const LL P = 1e9 + 7;
map <LL, LL> f;
LL n;

LL Read()
{
	LL sum = 0, fh = 1; char ch = getchar();
	for (; ch < '0' || ch > '9'; ch = getchar()) fh -= (ch == '-') << 1;
	for (; ch >= '0' && ch <= '9'; ch = getchar()) sum = (sum << 3) + (sum << 1) + (ch ^ 48);
	return sum * fh;
}

LL dfs(LL n)
{
	if (n == 0) return 1; if (n == 1) return 2;
	if (f[n] != 0) return f[n]; return (f[n] = (dfs(n / 2) + dfs((n - 1) / 2) + dfs((n - 2) / 2)) % P);
}

int main()
{
	n = Read(); printf("%lld\n", dfs(n)); return 0;
}