P8273 [USACO22OPEN] Pair Programming G 题解

一道线性 DP 题。

首先处理输入数据，如果出现了一个 0 说明这个串前面怎么操作都会白给（乘了 0），因此这个 0 前面的所有数据可以直接删掉但是这个 0 要保留。1 对答案是没有影响的，忽略即可，最后将所有的保留的数字转换成乘号，因为过程中我们不关注到底乘了多少，只关心方案数（和加号省略变量同理）。

设 $f_{i,j,0/1}$ 表示 A 串填了 $i$ 个，B 串填了 $j$ 个，最后一个是 A/B 串为结尾的答案。

显然过程中会有重复统计的情况，我们规定这种答案全部算到 $f_{i,j,0}$ 里面，考虑 $f_{i-1,j,0/1}$ 如何转移至 $f_{i,j,0}$（最后一个 A 串填的删掉），发现我们已经规定了重复统计的答案算入 $f_{i,j,0}$，这样就有一个转移方程：

$$f_{i,j,0}=f_{i-1,j,0}+f_{i-1,j,1}$$

至于 $f_{i,j,1}$，首先可以从 $f_{i,j-1,1}$ 转移，这个是显然对的，然后如果想从 $f_{i,j-1,0}$ 转移就需要满足 $a_i\ne b_j$，这样才能转移，即：

$$f_{i,j,1}=f_{i,j-1,1}+f_{i,j-1,0}\times[a_i\ne b_j]$$

其中 $[A]$ 表示 $A$ 为真时值为 1，否则为 0。

初值 $f_{0,0,1}=1$，答案 $f_{len1,len2,0}+f_{len1,len2,1}$。

GitHub：CodeBase-of-Plozia

Code：

/*
========= Plozia =========
	Author:Plozia
	Problem:P8273 [USACO22OPEN] Pair Programming G.cpp
	Date:2022/6/7
========= Plozia =========
*/

#include <bits/stdc++.h>
typedef long long LL;

const int MAXN = 2e3 + 5;
const int P = 1e9 + 7;
int t, n, f[MAXN][MAXN][2], len1, len2;
char str1[MAXN], str2[MAXN];

int Read()
{
	int sum = 0, fh = 1; char ch = getchar();
	for (; ch < '0' || ch > '9'; ch = getchar()) fh -= (ch == '-') << 1;
	for (; ch >= '0' && ch <= '9'; ch = getchar()) sum = sum * 10 + (ch ^ 48);
	return sum * fh;
}
int Max(int fir, int sec) { return (fir > sec) ? fir : sec; }

void Solve()
{
	n = Read(); len1 = len2 = 0;
	char ch = getchar();
	while (ch == ' ' || ch == '\r' || ch == '\n') ch = getchar();
	while (ch != ' ' && ch != '\r' && ch != '\n')
	{
		if (ch == '0') len1 = 0;
		if (ch == '+') str1[++len1] = '+';
		else if (ch != '1') str1[++len1] = '*';
		ch = getchar();
	}
	while (ch == ' ' || ch == '\r' || ch == '\n') ch = getchar();
	while (ch != ' ' && ch != '\r' && ch != '\n')
	{
		if (ch == '0') len2 = 0;
		if (ch == '+') str2[++len2] = '+';
		else if (ch != '1') str2[++len2] = '*';
		ch = getchar();
	}
	memset(f, 0, sizeof(f)); f[0][0][1] = 1;
	for (int i = 0; i <= len1; ++i)
		for (int j = 0; j <= len2; ++j)
		{
			if (i > 0) f[i][j][0] = (f[i - 1][j][0] + f[i - 1][j][1]) % P;
			if (j > 0) f[i][j][1] = f[i][j - 1][1];
			if (i > 0 && j > 0 && str1[i] != str2[j]) f[i][j][1] = (f[i][j][1] + f[i][j - 1][0]) % P;
		}
	printf("%d\n", (f[len1][len2][0] + f[len1][len2][1]) % P);
}

int main()
{
	t = Read();
	while (t--) Solve();
	return 0;
}