数据结构专题-学习笔记：cdq 分治

目录

• 1. 前言
• 2. 详解
• 3. 总结
• 4. 参考资料

1. 前言

cdq 分治，是一种用于计算偏序问题的离线算法，常数较小，跑的肯定比 kdtree 要快。

如无特殊说明，默认下文的点不重合，数字都是正整数。

2. 详解

cdq 最经典的是解决三维偏序，四维偏序可以 cdq 套 cdq 但是五维以上偏序还是写 kdtree 得了。

一维偏序：一维坐标系 $n$ 个点，第 $i$ 个点坐标 $a_i$，对所有 $i$ 求多少个 $j$ 满足 $a_j<a_i$。

显然直接排序即可。

二位偏序：二维坐标系 $n$ 个点，第 $i$ 个点坐标 $(a_i,b_i)$，对所有 $i$ 求多少个 $j$ 满足 $a_j<a_i,b_j<b_i$。

注意到出现了两维影响，因此考虑先排序消除第一维影响，然后对第二维统计。

首先一遍排序按照第一维升序排序，然后对第二维归并排序。

设当前合并 $[l,mid],[mid+1,r]$ 区间，此时因为第一维已经排序了，$[l,mid]$ 里面最大 $a$ 小于 $[mid+1,r]$ 最小 $a$，现在要计算 $[l,mid]$ 对 $[mid+1,r]$ 区间的贡献，具体做法就是从 $[mid+1,r]$ 中取出一个数时看一眼 $[l,mid]$ 已经被取出了几个数，然后直接加入 $[mid+1,r]$ 中取出的数的答案即可。

三维偏序：三维坐标系 $n$ 个点，第 $i$ 个点坐标 $(a_i,b_i,c_i)$，对所有 $i$ 求多少个 $j$ 满足 $a_j<a_i,b_j<b_i,c_j<c_i$。

还是对第一维排序，之后对第二维归并排序，不同的是现在有第三维的影响，因此考虑用树状数组。

从 $[l,mid]$ 取出时，树状数组上 $c$ 对应的位置加上 1，从 $[mid+1,r]$ 中取出时，树状数组上对应的区间 $[1,c]$ 中查询和即可，这就是$[l,mid]$ 对这个数的贡献。

四维偏序：四维坐标系 $n$ 个点，第 $i$ 个点坐标 $(a_i,b_i,c_i,d_i)$，对所有 $i$ 求多少 $j$ 满足 $a_j<a_i,b_j<b_i,c_j<c_i,d_j<d_i$。

对第一维排序，然后对第二维和第三维均作归并排序，第四维用树状数组。

此时你有两种做法，第一种是中序遍历版 cdq，第二种是后序遍历版 cdq。

中序遍历版：对于第二维的归并排序 $[l,r]$，此时我们先排 $[l,mid]$，然后开始对第三维做 $[l,r]$ 内的归并排序，仿照上面因为前面区间 $a,b,c$ 都小于后面区间 $a,b,c$ 所以第四维可以树状数组，第三维整个做完之后再做第二维上的 $[mid+1,r]$ 的归并排序。

后序遍历版就是将上面第二维 $[l,mid],[mid+1,r]$ 全部排完之后再做第三维 $[l,r]$ 排序。

对于题设而言，使用后序遍历版也可以，但是如果涉及到一些奇怪的 dp，那么就必须使用中序遍历版，因为 dp 过程中我们需要保证前面的所有答案都已经被计算正确，比如说如果四维偏序下我们要做 dp $f_{i}=\max\{f_j+a_i\}$（四维偏序下 $j<i$），要保证 dp 正确则必须采用中序遍历版。

例题：P3810 【模板】三维偏序（陌上花开）

GitHub：CodeBase-of-Plozia

Code（用了线段树代替树状数组）：

/*
========= Plozia =========
	Author:Plozia
	Problem:P3810 【模板】三维偏序（陌上花开）
	Date:2022/4/5
========= Plozia =========
*/

#include <bits/stdc++.h>

typedef long long LL;
const int MAXN = 1e5 + 5, MAXK = 2e5 + 5;
int n, m, f[MAXN], s[MAXN], cntn, val[MAXN];
struct node { int a, b, c, id; } a[MAXN], b[MAXN], tmp[MAXN];
struct sgt { int sum; } tree[MAXK << 2];

int Read()
{
	int sum = 0, fh = 1; char ch = getchar();
	for (; ch < '0' || ch > '9'; ch = getchar()) fh -= (ch == '-') << 1;
	for (; ch >= '0' && ch <= '9'; ch = getchar()) sum = sum * 10 + (ch ^ 48);
	return sum * fh;
}
int Max(int fir, int sec) { return (fir > sec) ? fir : sec; }
int Min(int fir, int sec) { return (fir < sec) ? fir : sec; }
bool cmp(const node &fir, const node &sec)
{
	if (fir.a ^ sec.a) return fir.a < sec.a;
	if (fir.b ^ sec.b) return fir.b < sec.b;
	return fir.c < sec.c;
}

void Change(int p, int k, int s, int lp, int rp)
{
	if (lp == rp) { tree[p].sum += s; return ; }
	int mid = (lp + rp) >> 1;
	if (k <= mid) Change(p << 1, k, s, lp, mid);
	else Change(p << 1 | 1, k, s, mid + 1, rp);
	tree[p].sum = tree[p << 1].sum + tree[p << 1 | 1].sum;
}

int Ask(int p, int l, int r, int lp, int rp)
{
	if (lp >= l && rp <= r) return tree[p].sum;
	int mid = (lp + rp) >> 1, val = 0;
	if (l <= mid) val += Ask(p << 1, l, r, lp, mid);
	if (r > mid) val += Ask(p << 1 | 1, l, r, mid + 1, rp);
	return val;
}

void MergeSort(int l, int r)
{
	if (l == r) return ; int mid = (l + r) >> 1;
	MergeSort(l, mid); MergeSort(mid + 1, r);
	int i = l, j = mid + 1, k = l;
	while (i <= mid && j <= r)
	{
		if (a[i].b <= a[j].b) { Change(1, a[i].c, val[a[i].id], 1, m); tmp[k++] = a[i++]; }
		else { f[a[j].id] += Ask(1, 1, a[j].c, 1, m); tmp[k++] = a[j++]; }
	}
	while (j <= r) { f[a[j].id] += Ask(1, 1, a[j].c, 1, m); tmp[k++] = a[j++]; }
	for (int p = l; p < i; ++p) Change(1, a[p].c, -val[a[p].id], 1, m);
	while (i <= mid) tmp[k++] = a[i++];
	for (int i = l; i <= r; ++i) a[i] = tmp[i];
}

int main()
{
	n = Read(), m = Read();
	for (int i = 1; i <= n; ++i) b[i].a = Read(), b[i].b = Read(), b[i].c = Read();
	std::sort(b + 1, b + n + 1, cmp);
	for (int i = 1; i <= n; ++i)
	{
		if (b[i].a != b[i - 1].a || b[i].b != b[i - 1].b || b[i].c != b[i - 1].c)
		{
			++cntn; a[cntn] = b[i]; val[cntn] = 1; a[cntn].id = cntn;
		}
		else ++val[cntn];
	}
	MergeSort(1, cntn);
	for (int i = 1; i <= cntn; ++i) s[f[i] + val[i] - 1] += val[i];
	for (int i = 0; i < n; ++i) printf("%d\n", s[i]);
	return 0;
}

3. 总结

cdq 分治：首先对第一维排序，然后中间维通过归并排序消除影响，注意先排 $[l,mid]$ 然后对下一维做 $[l,r]$ 归并排序最后在这一维排 $[mid+1,r]$，倒数第二维正常排序，最后一维树状数组。

4. 参考资料

• CDQ分治总结（CDQ，树状数组，归并排序） - Flash_Hu - 博客园
• 题解 P5621 【[DBOI2019]德丽莎世界第一可爱】 - Froggy 珂学家的博客 - 洛谷博客