数学/数论专题-学习笔记：狄利克雷卷积
1. 前言
狄利克雷卷积，是学习与继续探究 \(\mu\) 函数和 \(\varphi\) 函数的重要前提，因为这两个函数中有一些更好用的性质可以从狄利克雷卷积中得到，或者使用狄利克雷卷积更好的证明。
前置知识：一些基础的数论知识，可以直接看下去，遇到不明白的再查。
若无特殊说明，本文约定：数论函数如 \(f(n)\) 的定义域是正整数集，值域是数集。
2. 一些基础函数
这里给出下面会用到的几个基础函数：
单位函数 \(\varepsilon\)：\(\varepsilon(n )=[n=1]\)。
\([A]\) 表示 \(A\) 为真时值为 1，否则为 0。
常数函数 \(1\)：\(1(n)=1\)。
恒等函数 \(id\)：\(id(n)=n\)。
欧拉函数 \(\varphi\)：\(\varphi(n)=\sum_{i=1}^{n}[\gcd(i,n)=1]\)。
约数和函数 \(\sigma_0=\sum_{d \mid n}1\)，可扩展到 \(\sigma_k=\sum_{d \mid n}d^k\)。
莫比乌斯函数 \(\mu\)，定义见后文，该函数的一种定义是由狄利克雷卷积得到的（或者说是性质），会简单介绍，另一种是直接定义，与狄利克雷卷积无关。
本文认为您应当对欧拉函数有一定的了解，至少知道欧拉函数的一些性质，如不知道任何性质，可以看我写的博客数学/数论专题-学习笔记：欧拉函数进行学习。
3. 积性函数
定义：对于一个数论函数 \(f(n)\)，如果 \(\gcd(i,j)=1\) 时有 \(f(i) \times f(j)=f(i \times j)\)，那么 \(f(n)\) 就是积性函数。
易证 \(\varepsilon,1,id\) 时积性函数，而证明 \(\varphi(n)\) 是积性函数的过程在学习欧拉函数的过程中应该都学过，此处不赘述，莫比乌斯函数也是积性函数，但本篇博文不准备证明，因为我们目前无法得到其定义。
接下来证明 \(\sigma_0\) 是积性函数：
设 \(\gcd(n,m)=1\)，则要证明 \(\sigma_0(nm)=\sigma_0(n) \times \sigma_0(m)\)。
对 \(n,m\) 分解质因数，有 \(n=\prod_{i=1}^{s1}p1_i^{k1_i},m=\prod_{i=1}^{s2}p2_i^{k2_i}\)，因为 \(\gcd(n,m)=1\)，所以保证所有 \(p1_i\) 与 \(p2_i\) 互不相同。
因此 \(\sigma_0(n)=\prod_{i=1}^{s1}(1+k1_i),\sigma_0(m)=\prod_{i=1}^{s2}(1+k2_i)\)。
如果定义 \(p=p1 \cup p2,k=k1 \cup k2\)，并且 \(p_i\) 与 \(k_i\) 在之前的 \(p1,p2,k1,k2\) 中也是一一对应的，那么 \(nm=\prod_{i=1}^{s1+s2}p_i^{k_i}\)，则 \(\sigma_0(nm)=\prod_{i=1}^{s1+s2}(1+k_i)=\prod_{i=1}^{s1}(1+k1_i) \times \prod_{i=1}^{s2}(1+k2_i)=\sigma_0(n) \times \sigma_0(m)\)，证毕。
4. 狄利克雷卷积
先定义两个数论函数 \(f(n),g(n)\) 的加法与单个数论函数的数乘如下：
加法为逐项相加，即 \((f+g)(i)=f(i)+g(i)\)，\((xf)(n)=xf(n)\)。
其中 \(f+g\) 表示加法之后得到的函数，\(xf\) 表示数乘之后得到的函数。
注意，本文将数和函数符号都用小写字母表示。
两个数论函数 \(f=g\) 的充要条件是 \(\forall n \in \text{N}_+,f(n)=g(n)\)。
定义两个数论函数的狄利克雷卷积 \(*\) 如下：
设 \(f(n),g(n)\) 是两个数论函数，则其狄利克雷卷积为 \(t=f*g\)，满足：
有一个等价形式是 \(t(n)=\sum_{i \times j=n}f(i)g(j)\)，这个形式常用于证明某些性质。
狄利克雷卷积有如下的基础性质：
- 交换律 \(f*g=g*f\)。
- 结合律 \((f*g)*h=f*(g*h)\)。
- 分配律 \((f+g)*h=f*h+g*h\)。
- 对数乘而言的结合律（我自己起的名字）\((xf)*g=x(f*g)\)。
- 单位函数 \(\epsilon*f=f\)。
这 5 个性质读者自证不难。
接下来看下狄利克雷卷积的逆元概念：对所有 \(f(1) \ne 0\) 的函数 \(f\)，都存在 \(f * g=\epsilon\)，称 \(g\) 是 \(f\) 的逆元，记作 \(f^{-1}\)。
\(f(1) \ne 0\) 的原因是 \((f*f^{-1})(1)=\sum_{ij=1}f(i)f^{-1}(j)=f(1)f^{-1}(1)=1\)，因此要满足这个式子，则 \(f(1) \ne 0\)。
求逆元的式子如下：
还有一种合在一起的简化版本：
怎么得到的不知道，但是我们可以验证这个 \(g(n)\) 是对的：
\((f*g)(n)=\sum_{d \mid n}f(d)g(\dfrac{d}{n})=f(1)g(n)+\sum_{d \mid n,d>1}f(d)g(\dfrac{n}{d})=[n=1]\)
即 \((f*g)(n)=[n=1]=\epsilon(n)\)，所以 \(f*g=\epsilon\)，满足定义。
设 \(f(n),g(n)\) 是两个积性函数，有：
- \(f*g\) 是积性函数。
- \(f^{-1}\) 是积性函数。
其中上述性质 2 需要数学归纳法证明，过于繁琐，这里略去，有兴趣的可以参考参考资料。
性质 1 证明：
设 \(t=f*g,\gcd(n,m)=1\)，则要证 \(t(nm)=t(n)t(m)\)：
\(t(nm)=\sum_{d \mid nm}f(d)g(\dfrac{nm}{d})=\sum_{i \mid n,j \mid m}f(ij)g(\dfrac{n}{i}\times\dfrac{m}{j})\)
其中因为 \(\gcd(n,m)=1\)，所以 \(i,j\) 无共同质因子，且 \(\gcd(\dfrac{n}{i},\dfrac{m}{j})=1\)。
\(=\sum_{i \mid n,j\mid m}f(i)g(\dfrac{n}{i})f(j)g(\dfrac{n}{j})=[\sum_{i \mid n}f(i)g(\dfrac{n}{i})][\sum_{j \mid m}f(j)g(\dfrac{m}{j})]=t(n)t(m)\)。
证毕。
然后考虑莫比乌斯函数 \(\mu\)。
其实接下来的内容会涉及到莫比乌斯函数与莫比乌斯反演的相关性质，这里简单介绍一下。
我们规定：常数函数 \(1\) 的逆元是 \(\mu\)，即 \(1*\mu=\epsilon\)。
假设 \(g=f*1\)，因为 \(f=f*\epsilon\)，那么 \(f=f*1*\mu=g*\mu\)。
带入狄利克雷卷积的式子，也就是：
若 \(g(n)=\sum_{d \mid n}f(d)\)，则 \(f(n)=\sum_{d \mid n}g(d)\mu(\dfrac{n}{d})\)。
上述式子就是根据狄利克雷卷积得到的莫比乌斯反演的式子，另一个莫比乌斯反演的式子是另外一个类似卷积的东西得到的。
关于莫比乌斯反演这里只讲这么多，因为这里不是莫比乌斯反演的博文。
5. 总结
这里总结了本篇的重要定理与式子。
狄利克雷卷积定义：\(t=f*g,t(n)=\sum_{d \mid n}f(n)g(\dfrac{n}{d})\)。
狄利克雷卷积满足交换律，结合律，分配律，对数乘分配律，\(f * \epsilon=f\)。
狄利克雷卷积逆元 \(g(n)=[n=1]-\sum_{d \mid n,d>1}f(d)g(\dfrac{n}{d})\)。
若 \(f,g\) 是两个积性函数，则 \(f*g,f^{-1}\) 也是积性函数。
莫比乌斯函数 \(\mu\) 定义为 \(1*\mu=\epsilon\)，即 \(1\) 的逆元。
\(g=f*1 \Rightarrow f=f*1*\mu=g*\mu\)，即 \(g(n)=\sum_{d \mid n}f(d) \Rightarrow f(n)=\sum_{d \mid n}g(d)\mu(\dfrac{n}{d})\)。
