图论专题-学习笔记：Prufer 序列

目录

• 1. 前言
• 2. 详解
  • 2.1 树 $\to$ Prufer 序列
  • 2.2 Prufer 序列 $\to$ 树
• 3. 性质
• 4. 总结
• 5. 参考资料

1. 前言

Prufer 序列，是一种用来描述树的序列，一般用于一些树上度数统计的题。

注意作者是 OIer，考虑到 Prufer 序列在 OI 里面的应用等，本篇文章只讲述 $O(n \log n)$ 的求法。

2. 详解

设有一棵 $n$ 点的树，则这个 $n$ 点的树和一个长度为 $n-2$ 的 Prufer 序列是一一对应的，下面给出树与 Prufer 序列的互相转换方式。

2.1 树 $\to$ Prufer 序列

转换方式如下：

1. 从当前树上所有度数为 1 的点中取出编号最小的点，将与其直接连接的边加入 Prufer 序列中。
2. 删除选出的这个点，同时被加入 Prufer 序列的点度数要减一，如果该点度数变为 1 那么这个点就有可能被取出。
3. 重复该操作直到只剩下两个点，此时算法结束，Prufer 序列长度为 $n-2$。

使用堆可以很方便的完成这一系列操作，复杂度 $O(n \log n)$。

这里放上一张图，来自参考资料中的 OI - Wiki 中的图片（不确定他们这张图是哪来的，反正我从这里引用过来）：

参考代码如下，其中 $fa_i$ 表示 $i$ 的父亲，代码中以 $n$ 为根节点。

void TreeToPrufer()
{
	for (int i = 1; i < n; ++i) fa[i] = Read(), ++d[i], ++d[fa[i]];
	priority_queue <int> q;
	for (int i = 1; i <= n; ++i) if (d[i] == 1) q.push(-i);
	for (int i = 1; i <= n - 2; ++i)
	{
		int x = -q.top(); q.pop();
		Prufer[++Prufer[0]] = fa[x]; --d[fa[x]];
		if (d[fa[x]] == 1) q.push(-fa[x]);
	}
}

实际上，根据构造方式，我们可以得出 Prufer 序列的两个性质：

• $i$ 号点在 Prufer 序列中出现的次数为 $i$ 号点度数 - 1。

同时，构造完 Prufer 序列后原树只会剩下两个节点，其中一个一定是 $n$。

2.2 Prufer 序列 $\to$ 树

仿照树 $\to$ Prufer 序列的做法，可以得到如下方式：

1. 根据 Prufer 序列和上文的一个性质，算出所有点度数。
2. 枚举 $i \in [1,n-2]$，设 $\{p_i\}$ 为 Prufer 序列，每次取出当前未被删除且度数为一的编号最小的点，设为 $x$，将 $x$ 与 $p_i$ 连边然后删去 $x$，同时减小 $p_i$ 的度数。
3. 最后应当会剩下两个度数为 1 的点，其中一个一定是 $n$，将这两个点连起来即可。

照样使用堆来实现这一过程，复杂度 $O(n \log n)$。

参考代码如下，这里采用了链式前向星连边，然后使用一遍 dfs 求出 $fa_i$。

void dfs(int now, int father)
{
	fa[now] = father;
	for (int i = Head[now]; i; i = Edge[i].Next)
	{
		int u = Edge[i].To;
		if (u == father) continue ;
		dfs(u, now);
	}
}

void PruferToTree()
{
	for (int i = 1; i <= n - 2; ++i) Prufer[i] = Read(), ++d[Prufer[i]];
	for (int i = 1; i <= n; ++i) ++d[i];
	priority_queue <int> q;
	for (int i = 1; i <= n; ++i) if (d[i] == 1) q.push(-i);
	for (int i = 1; i <= n - 2; ++i)
	{
		int x = -q.top(); q.pop();
		add_Edge(x, Prufer[i]); add_Edge(Prufer[i], x);
		--d[Prufer[i]]; if (d[Prufer[i]] == 1) q.push(-Prufer[i]);
	}
	int p1 = -q.top(); q.pop();
	add_Edge(p1, n); add_Edge(n, p1);
	dfs(n, n);
}

3. 性质

首先前面提到过一个性质（设 $i$ 号点度数为 $d_i$）：

• $i$ 号点在 Prufer 序列中出现的次数为 $d_i-1$。

然后利用 Prufer 序列，我们可以证明：

• $n$ 个点有标号无根树形态有 $n^{n-2}$ 种。

以及一些需要度数的题都可以用 Prufer 序列求解。

这里再放上一个性质：对于给定 $d$ 序列，$n$ 个点有标号无根树的种类有：

$$\dbinom{n-2}{d_1-1,d_2-1,...,d_n-1}=\dfrac{(n-2)!}{(d_1-1)!(d_2-1)!...(d_n-1)!}$$

顺带一提，如果利用 Prufer 序列来造数据，随机情况下树高是 $\sqrt{n}$ 而不是 $\log n$ 的。

4. 总结

Prufer 序列和树是一一对应的，与度数有很大的联系。

5. 参考资料

• Prufer序列相关_zhouyuheng2003的博客-CSDN博客_prufer
• 【朝夕的ACM笔记】图论-Prufer序列 - 知乎
• Prufer 序列 - OI Wiki