图论专题-学习笔记：Prufer 序列
1. 前言
Prufer 序列，是一种用来描述树的序列，一般用于一些树上度数统计的题。
注意作者是 OIer，考虑到 Prufer 序列在 OI 里面的应用等，本篇文章只讲述 \(O(n \log n)\) 的求法。
2. 详解
设有一棵 \(n\) 点的树，则这个 \(n\) 点的树和一个长度为 \(n-2\) 的 Prufer 序列是一一对应的，下面给出树与 Prufer 序列的互相转换方式。
2.1 树 \(\to\) Prufer 序列
转换方式如下：
- 从当前树上所有度数为 1 的点中取出编号最小的点，将与其直接连接的边加入 Prufer 序列中。
- 删除选出的这个点，同时被加入 Prufer 序列的点度数要减一，如果该点度数变为 1 那么这个点就有可能被取出。
- 重复该操作直到只剩下两个点，此时算法结束，Prufer 序列长度为 \(n-2\)。
使用堆可以很方便的完成这一系列操作，复杂度 \(O(n \log n)\)。
这里放上一张图，来自参考资料中的 OI - Wiki 中的图片（不确定他们这张图是哪来的，反正我从这里引用过来）：
参考代码如下，其中 \(fa_i\) 表示 \(i\) 的父亲，代码中以 \(n\) 为根节点。
void TreeToPrufer()
{
for (int i = 1; i < n; ++i) fa[i] = Read(), ++d[i], ++d[fa[i]];
priority_queue <int> q;
for (int i = 1; i <= n; ++i) if (d[i] == 1) q.push(-i);
for (int i = 1; i <= n - 2; ++i)
{
int x = -q.top(); q.pop();
Prufer[++Prufer[0]] = fa[x]; --d[fa[x]];
if (d[fa[x]] == 1) q.push(-fa[x]);
}
}
实际上，根据构造方式，我们可以得出 Prufer 序列的两个性质：
- \(i\) 号点在 Prufer 序列中出现的次数为 \(i\) 号点度数 - 1。
同时，构造完 Prufer 序列后原树只会剩下两个节点，其中一个一定是 \(n\)。
2.2 Prufer 序列 \(\to\) 树
仿照树 \(\to\) Prufer 序列的做法，可以得到如下方式：
- 根据 Prufer 序列和上文的一个性质，算出所有点度数。
- 枚举 \(i \in [1,n-2]\)，设 \(\{p_i\}\) 为 Prufer 序列，每次取出当前未被删除且度数为一的编号最小的点，设为 \(x\)，将 \(x\) 与 \(p_i\) 连边然后删去 \(x\)，同时减小 \(p_i\) 的度数。
- 最后应当会剩下两个度数为 1 的点，其中一个一定是 \(n\)，将这两个点连起来即可。
照样使用堆来实现这一过程，复杂度 \(O(n \log n)\)。
参考代码如下，这里采用了链式前向星连边，然后使用一遍 dfs 求出 \(fa_i\)。
void dfs(int now, int father)
{
fa[now] = father;
for (int i = Head[now]; i; i = Edge[i].Next)
{
int u = Edge[i].To;
if (u == father) continue ;
dfs(u, now);
}
}
void PruferToTree()
{
for (int i = 1; i <= n - 2; ++i) Prufer[i] = Read(), ++d[Prufer[i]];
for (int i = 1; i <= n; ++i) ++d[i];
priority_queue <int> q;
for (int i = 1; i <= n; ++i) if (d[i] == 1) q.push(-i);
for (int i = 1; i <= n - 2; ++i)
{
int x = -q.top(); q.pop();
add_Edge(x, Prufer[i]); add_Edge(Prufer[i], x);
--d[Prufer[i]]; if (d[Prufer[i]] == 1) q.push(-Prufer[i]);
}
int p1 = -q.top(); q.pop();
add_Edge(p1, n); add_Edge(n, p1);
dfs(n, n);
}
3. 性质
首先前面提到过一个性质（设 \(i\) 号点度数为 \(d_i\)）：
- \(i\) 号点在 Prufer 序列中出现的次数为 \(d_i-1\)。
然后利用 Prufer 序列，我们可以证明：
- \(n\) 个点有标号无根树形态有 \(n^{n-2}\) 种。
以及一些需要度数的题都可以用 Prufer 序列求解。
这里再放上一个性质：对于给定 \(d\) 序列，\(n\) 个点有标号无根树的种类有：
\[\dbinom{n-2}{d_1-1,d_2-1,...,d_n-1}=\dfrac{(n-2)!}{(d_1-1)!(d_2-1)!...(d_n-1)!}
\]
顺带一提，如果利用 Prufer 序列来造数据，随机情况下树高是 \(\sqrt{n}\) 而不是 \(\log n\) 的。
4. 总结
Prufer 序列和树是一一对应的，与度数有很大的联系。
