P4198 楼房重建 题解

一道线段树题目，思路很巧妙。

首先先转化一下题意，发现如果后面的楼房能够被前面的挡住，一定是后面楼房的斜率比前面楼房小，斜率就是 \(\dfrac{H_i}{i}\)，于是这道题变成了单点修改，全局查询哪几个点斜率是前缀最大值中的最大值。

维护两个值 \(ans,Maxn\) 分别表示只存在这个区间时的答案和这个区间的斜率最大值，发现不需要建树，单点修改也好写，查询更好写，但是这个 Update(Pushup) 不好写，因为前面的区间是会干扰到后面的区间的。

考虑现在 Update 一个节点 \(p\)，设 \(p\) 左儿子为 \(l(p)\)，右儿子 \(r(p)\)，右儿子的左儿子 \(ls\)，右儿子的右儿子 \(rs\)。

• 如果 \(Maxn(l(p)) \geq Maxn(r(p))\)，那么右儿子对 \(p\) 贡献为 0，直接合并上左儿子对 \(p\) 贡献（加上即可）。
• 否则，说明右儿子对 \(p\) 有贡献，此时我们需要查 \(ls,rs\) 对 \(p\) 的贡献，接着分类讨论：
  • 如果 \(Maxn(l(p)) \geq Maxn(ls)\)，说明 \(ls\) 被完全遮盖，直接递归查 \(rs\) 对 \(p\) 贡献。
  • 否则，说明 \(ls\) 对 \(p\) 是有贡献的，递归查 \(ls\) 对 \(p\) 贡献，对于 \(rs\) 而言，由于 \(ls\) 对 \(rs\) 限制更严格，所以 \(rs\) 贡献可以直接算，即 \(ans(r(p)) - ans(ls)\)。注意不是 \(ans(rs)\) 因为 \(ans(rs)\) 并不能代表对 \(p\) 的贡献。

上面二级的分类讨论中递归时传下去的斜率最大值是 \(Maxn(p)\)。

这段话会有点绕，我觉得还是要看一下代码里面的 Change 和 Ask 函数会更好理解。

Update 解决了这道题也就解决了。

GitHub：CodeBase-of-Plozia

Code：

/*
========= Plozia =========
    Author:Plozia
    Problem:P4198 楼房重建
    Date:2022/1/2
========= Plozia =========
*/

#include <bits/stdc++.h>

typedef long long LL;
const int MAXN = 1e5 + 5;
int n, m;
struct node
{
    int l, r, ans;
    double Maxn;
    #define l(p) tree[p].l
    #define r(p) tree[p].r
    #define ans(p) tree[p].ans
    #define Maxn(p) tree[p].Maxn
}tree[MAXN << 2];

int Read()
{
    int sum = 0, fh = 1; char ch = getchar();
    for (; ch < '0' || ch > '9'; ch = getchar()) fh -= (ch == '-') << 1;
    for (; ch >= '0' && ch <= '9'; ch = getchar()) sum = sum * 10 + (ch ^ 48);
    return sum * fh;
}
double Max(double fir, double sec) { return (fir > sec) ? fir : sec; }
double Min(double fir, double sec) { return (fir < sec) ? fir : sec; }

void Build(int p, int l, int r)
{
    l(p) = l, r(p) = r; if (l == r) return ;
    int mid = (l(p) + r(p)) >> 1; Build(p << 1, l, mid); Build(p << 1 | 1, mid + 1, r);
}

int Ask(int p, double k)
{
    if (Maxn(p) <= k) return 0;
    if (l(p) == r(p)) return (Maxn(p) > k);
    if (Maxn(p << 1) <= k) return Ask(p << 1 | 1, k);
    return ans(p) - ans(p << 1) + Ask(p << 1, k);
}

void Change(int p, int x, int k)
{
    if (l(p) == r(p) && l(p) == x) { ans(p) = 1; Maxn(p) = (double) k / x; return ; }
    int mid = (l(p) + r(p)) >> 1;
    if (x <= mid) Change(p << 1, x, k); else Change(p << 1 | 1, x, k);
    Maxn(p) = Max(Maxn(p << 1), Maxn(p << 1 | 1));
    ans(p) = ans(p << 1) + Ask(p << 1 | 1, Maxn(p << 1));
}

int main()
{
    n = Read(), m = Read(); Build(1, 1, n);
    for (int i = 1; i <= m; ++i)
    {
        int x = Read(), y = Read();
        Change(1, x, y);
        printf("%d\n", ans(1));
    }
    return 0;
}