P7446 [Ynoi2007] rfplca 题解

一道分块题，应该是 Ynoi 题里面为数不多的不卡常题(?)，反正我没卡就过了，这道题 Idea 不错。

前置知识：根号做法的弹飞绵羊，下面认为读者已经会了这个做法。

首先类似于弹飞绵羊，我们设一个 $Top_i$ 表示当前这个点不断往前跳，跳到这个块的最前面的位置（当然也可以跳出块外第一个位置，但是这道题这么写好点），然后 $fa_i$ 就是他父亲，不包括区间整块打的标记。

当然如果这个点 $fa_i$ 已经在块外了就直接令 $Top_i = i$。

下面认为 $fa_i$ 表示只在暴力单点修改情况下的父亲，$ffa_i$ 表示其真实父亲。

先看修改操作：$[l,r]$ 区间减，$\red{x \geq 1}$。

按照分块老套路，我们可以对于零散块（含 $l,r$ 在同一块）的情况暴力减去并且重构，但是对于整块的情况我们就不好搞了，因为我们没办法快速维护 $Top$……

但是观察到 $\red{x \geq 1}$，这意味着每一个点至多修改 $\sqrt{n}$ 次其 $ffa_i$ 就会跳出这个块，于是我们可以考虑对于每一个块首先暴力重构，当这个块内的所有 $ffa_i$ 都跳出这个块了，就意味着这个块实际上没有必要再重构了，可以直接跳过，这块的总复杂度是 $O(n\sqrt{n})$ 的。

当每一个块被区间减的时候，我们直接打一个 $tag_{ys_i} \leftarrow tag_{ys_i} + x$ 表示这块整体区间减的标记，于是我们得到了 $ffa_i=fa_i - tag_{ys_i}$，其中 $ys_i$ 表示 $i$ 所在块标号。

至于维护这个块是否没有必要重构，我们可以在每一次重构的时候看下是否所有 $Top_i=i$，满足就可以不重构了，否则就需要重构。

然后查询操作的话我们模仿树剖求 LCA 就好了，先按照 $Top_i$ 跳，然后按照 $ff_i$ 跳即可。

这道题写代码的时候需要注意：

1. 第一个点是需要单独开一个块的，同时查询操作需要特判一下。
2. 注意这些操作（暴力重构，查询操作）是需要使用 $ffa_i$ 的，而暴力单点修改的时候是使用 $fa_i$ 的。
3. 这道题是不太卡常的，被卡常了是你写丑了。

Code：GitHub CodeBase-of-Plozia P7446 [Ynoi2007] rfplca.cpp