P2331 [SCOI2005]最大子矩阵 题解

DP 题，好像有点恶心，主要是因为能不能选空矩阵的问题。

有些数据好像是可以选空矩阵的有些又不能选，就很离谱，但是根据原数据来看空矩阵应该是不能选的，我也不知道具体情况（）

注意到 $m=1$ 的情况是经典问题，因此直接跳 $m=2$。

设 $f_{i,j,k}$ 表示第一列做到前 $i$ 个，第二列做到前 $j$ 个，总共选了 $k$ 个子矩阵的结果。

那么考虑对于每一列枚举一个 $p$ 表示将 $[p,i]/[p,j]$ 作为一个新矩阵转移，然后就是如果 $i=j$ 那么可以两列一起转移，需要一个列上的前缀和。

转移方程如下：

$$f_{i,j,k}=\max\{f_{i-1,j,k},f_{i,j-1,k}\}$$

$$f_{i,j,k}=\max\{f_{p,j,k-1}+sum1_{i}-sum1_{p} \mid 0 \leq p \leq i\}$$

$$f_{i,j,k}=\max\{f_{i.p,k-1}+sum2_j-sum2_p \mid 0 \leq p \leq j\}$$

$$f_{i,j,k}=\max\{f_{p,p,k-1}+sum1_i-sum1_p+sum2_j-sum2_p \mid 0 \leq p \leq i,i=j\}$$

最后答案是 $f_{n,n,k}$。

大致注意点就是一个 $f$ 初始化要是 -INF，另外一个点就是需要先枚举第三维，如果不先枚举第三维就是错误的，具体为啥参照 Floyd 正确性证明。

Code：GitHub CodeBase-of-Plozia P2331 [SCOI2005]最大子矩阵.cpp