P6280 [USACO20OPEN]Exercise G 题解

一道 DP 题，好像有人叫这类题为数论 DP？但是不就是一个质数吗。

首先我们观察到如果这堆奶牛想要回到原位，那么对应的 \(a_i\) 一定会构成一个环。换言之，如果连边 \(i \to a_i\)，那么就会出现若干个环。

而如果需要恰好 \(k\) 步回到原位，那么就需要所有环长的最小公倍数是 \(k\)。

显然最小公倍数肯定只与质数最高次幂有关系，于是我们可以考虑线筛 \([1,n]\) 的质数然后 DP 。

设 \(f_{i,j}\) 表示选了前 \(i\) 个质数和为 \(j\) 时候的答案，那么有转移方程：

\[f_{i,j}=\sum_{p \leq p^q \leq j, q \geq 1}(f_{i-1,j-p^q} \times p^q) \]

这个的大意就是说因为这里选了 \(p^q\) 的数，前面方案的和是 \(f_{i-1,j-p^q}\)，这些和在加入 \(p^q\) 之后总贡献是相乘的。

初值是 \(f_{0}=1\)，因为 \(k=1\) 也是可以的，只不过直接我们不会统计 \(k=1\) 的答案，所以要初值。

• 其实 \(k=1\) 的可行性题目中不是说的很清楚，\(k=1\) 是因为 \(a_i=i\) 时奶牛们动了一步，但是又全部呆在原地，动了但完全没动，此时也是算一种方案的。

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