P2473 [SCOI2008] 奖励关 题解

首先看这个范围又看到这种题目，就知道是状压 DP 跑不了了。

一个直接的思路是设 $f_{i,s}$ 表示当前到第 $i$ 轮，宝物拿取状态为 $s$ 时的得分，但是我们发现这玩意直接推的话会出现一些奇奇怪怪的状态，主要是这个系统有时扔出来的宝物不能让你到达 $s$ 或者是你推着推着 $s$ 里面 1 的个数就大于 $i$ 了。

所以我们需要换个方法，采用逆推的思路。

逆推的话状态需要改一下：$f_{i,s}$ 表示 1 到 $i - 1$ 轮宝物拿取状态为 $s$，第 $i$ 轮到第 $k$ 轮的平均得分。

这样的话由于 $i+1$ 到 $k$ 的所有状态都是合法的，自然 $i$ 的状态也是合法的。

于是我们就可以得到如下的转移方程：

$$f_{i,s}= \max\{f_{i+1,s},f_{i+1,s|(1 <<(j-1))}+p_j \mid j \in S_1\}$$

其中上式的 $S_1$ 表示在当前状态 $s$ 下，能够拿取的宝物集合。

于是这道题做完了，答案是 $f_{1,0}$。

Code：GitHub CodeBase-of-Plozia P2473 [SCOI2008] 奖励关