CF710E Generate a String 题解

一道比较不错的 DP。

设 $f_i$ 表示当前字符串长为 $i$ 时的最小代价，发现这道题麻烦的地方在于 $f_i$ 可以从 $f_{i+1}$ 的地方转移过来。

分类讨论一下：

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$i$ 为偶数：

$i$ 为偶数时 $f_i$ 能从 $f_{i-1},f_{\frac{i}{2}},f_{i+1}$ 三个点转移过来，但是 $f_{i+1}$ 的转移路程是 $? \to f_{\frac{i+2}{2}} \to f_{i+2} \to f_{i+1} \to f_{i}$
，总代价是 $y+2x$，这显然不如 $? \to f_{\frac{i+2}{2}} \to f_{\frac{i}{2}} \to f_{i}$ 更优，总代价是 $y+x$。

所以 $i$ 为偶数的转移方程是 $f_{i}=\min\{f_{i-1}+x,f_{\frac{i}{2}}+y\}$。

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$i$ 为奇数：

$i$ 为奇数时 $f_i$ 能从 $f_{i-1},f_{i+1}$ 转移过来，接下来讨论 $f_{i+1}$ 的转移思路。

显然 $f_{i+1}$ 不能从 $f_{i}$ 转移，于是只能从 $f_{i+2},f_{\frac{i+1}{2}}$ 转移，发现 $f_{i+2}$ 又是个奇数，因此如果从 $f_{i+2}$ 转移的话路径只能是这样：

$? \to f_{\frac{i+1}{2}} \to f_{\frac{i+3}{2}} \to f_{i+3} \to f_{i+2} \to f_{i+1} \to f_{i}$

总代价是 $4x+y$，显然不如从 $f_{i+1}$ 的转移路径 $? \to f_{\frac{i+1}{2}} \to f_{i+1} \to f_{i}$，总代价是 $y+x$。

所以 $i$ 为奇数的转移方程是 $f_{i}=\min\{f_{i-1}+x,f_{\frac{i+1}{2}}+x+y\}$。

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所以最后的方程就是上面两个式子综合一下就好了。

Code：GitHub CodeBase-of-Plozia CF710E Generate a String.cpp